Ache as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(x sin theta+cos theta)(x cos theta-sin theta)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (x sintheta + costheta),(x costheta - sintheta)
O conteúdo aqui é a regra do produto e, depois de aplicar, podemos usar identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Definimos
u(x) = x sintheta + costheta, v(x) = x costheta - sintheta
Calculamos as derivadas de cada fator:
u'(x) = sintheta, v'(x) = costheta

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Substituindo:
f'(x) = sintheta,(x costheta - sintheta) + (x sintheta + costheta),costheta

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em x e constantes:
f'(x) = x,sinthetacostheta - sin^2theta + x,sinthetacostheta + cos^2theta = 2x,sinthetacostheta + (cos^2theta - sin^2theta)
Usando
sin2theta = 2sinthetacostheta, cos2theta = cos^2theta - sin^2theta,
chegamos a
f'(x) = x,sin2theta + cos2theta

Resposta

f'(x) = x,sin2theta + cos2theta

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