Ache as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(1+n x^m)(1+m x^n)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = l(1 + n x^mr),l(1 + m x^nr),
onde m e n são constantes. Vamos usar as regras de derivação de potência, cadeia e, principalmente, a regra do produto.

Passo 2

Seja
A(x) = 1 + n x^m e B(x) = 1 + m x^n
Então, pela regra de potência e fator constante, temos
A'(x) = n cdot m,x^m-1 e B'(x) = m cdot n,x^n-1

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x) = A'(x),B(x) + A(x),B'(x)

Passo 4

Substituindo A, B, A' e B':
f'(x) = l(nm,x^m-1r),l(1 + m x^nr) + l(1 + n x^mr),l(mn,x^n-1r)
Colocando mn em evidência e somando termos semelhantes:
f'(x) = mnl[x^m-1 + m,x^m+n-1 + x^n-1 + n,x^m+n-1r] = mnl[x^m-1 + x^n-1 + (m+n),x^m+n-1r]

Resposta

f'(x) = mnl[x^m-1 + x^n-1 + (m+n),x^m+n-1r]

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