Ache as derivadas das seguintes funções:
g(x)=\frac{3 x-1}{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede: “Ache a derivada da função” e nos dá a função
g(x)=\frac{3x-1}{2x+1}.
Informações que temos:
  • A função é uma fração (racional) entre duas expressões lineares: o numerador é (3x-1) e o denominador é (2x+1).
  • Não há valores numéricos adicionais; a tarefa é encontrar g'(x), a derivada de g em termos de x.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a regra do quociente (quotient rule), que é o método direto para derivar uma função dada como uma razão de duas funções. Vou escrever a regra e explicar cada peça.
Regra do quociente: se tivermos duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0, a derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.
Explicando:
  • u(x) é o numerador da fração.
  • v(x) é o denominador da fração.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
  • O numerador da fórmula combina u' vezes v menos u vezes v'.
  • O denominador é o quadrado de v, isto é, v(x)^2.
Essa fórmula vem da aplicação da regra do produto e da regra da cadeia ao escrever \dfrac{u}{v}=u\cdot v^{-1}, mas aqui só é importante saber a forma pronta e como aplicá-la passo a passo.

Passo 3

Identificar u e v para o nosso caso e calcular suas derivadas simples.
Tomamos
u(x)=3x-1,\qquad v(x)=2x+1.
Agora calculamos u'(x) e v'(x).
Regra usada: a derivada de uma função linear ax+b é a (a constante multiplicadora de x). A derivada de uma constante é 0.
Portanto:
u'(x)=3
porque u(x)=3x-1 e a derivada de 3x é 3, a de -1 é 0.
v'(x)=2
porque v(x)=2x+1 e a derivada de 2x é 2, a de +1 é 0.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u, v, u' e v'.
Pela fórmula,
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Substituindo os valores:
g'(x)=\frac{3\cdot(2x+1)-(3x-1)\cdot 2}{(2x+1)^{2}}.

Passo 5

Calcular passo a passo o numerador e simplificar.
Compute cada termo do numerador:
3\cdot(2x+1)=6x+3,
(3x-1)\cdot 2=6x-2.
Agora subtrair esses termos conforme a fórmula:
(6x+3)-(6x-2)=6x+3-6x+2=3+2=5.
Assim o numerador simplifica para 5. O denominador permanece (2x+1)^{2}.
Portanto a expressão simplificada da derivada é
g'(x)=\frac{5}{(2x+1)^{2}}.
Observação sobre domínio: a derivada está definida para todos os x tais que o denominador original não seja zero, ou seja, para x\neq -\tfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{5}{(2x+1)^{2}}

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