Ache as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: “Ache a derivada da função” e nos dá a função
Informações que temos:
- A função é uma fração (racional) entre duas expressões lineares: o numerador é
e o denominador é . - Não há valores numéricos adicionais; a tarefa é encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a regra do quociente (quotient rule), que é o método direto para derivar uma função dada como uma razão de duas funções. Vou escrever a regra e explicar cada peça.
Regra do quociente: se tivermos duas funções
e
com
, a derivada de
é
Explicando:
-
é o numerador da fração. -
é o denominador da fração. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . - O numerador da fórmula combina
vezes menos vezes . - O denominador é o quadrado de
, isto é, .
Essa fórmula vem da aplicação da regra do produto e da regra da cadeia ao escrever
, mas aqui só é importante saber a forma pronta e como aplicá-la passo a passo.
Passo 3
Identificar
e
para o nosso caso e calcular suas derivadas simples.
Tomamos
Agora calculamos
e
.
Regra usada: a derivada de uma função linear
é
(a constante multiplicadora de
). A derivada de uma constante é
.
Portanto:
porque
e a derivada de
é
, a de
é
.
porque
e a derivada de
é
, a de
é
.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
,
,
e
.
Pela fórmula,
Substituindo os valores:
Passo 5
Calcular passo a passo o numerador e simplificar.
Compute cada termo do numerador:
Agora subtrair esses termos conforme a fórmula:
Assim o numerador simplifica para
. O denominador permanece
.
Portanto a expressão simplificada da derivada é
Observação sobre domínio: a derivada está definida para todos os
tais que o denominador original não seja zero, ou seja, para
.