Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
O que se pede é a derivada de
em relação a
, ou seja
(também escrita como
), assumindo que
depende de
— isto é,
. Listei a equação dada e o objetivo: encontrar
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras que vamos usar (explicadinhas passo a passo):
- Regra da cadeia: se
e queremos , então
Isto significa: derivar
em relação a
e multiplicar por
.
- Regra do produto: se tivermos
, então
Aplicaremos a regra do produto quando aparecer um termo como
(produto de
por
).
- Notação: vou escrever
.
Passo 3
Diferencio ambos os lados da igualdade em relação a
. Diferencio termo a termo usando as regras acima.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo
: é uma constante
vezes o produto
. Usando produto e cadeia,
Multiplicando pelo
:
Derivada do terceiro termo
: é
vezes a derivada de
. Pela cadeia,
Derivada do lado direito
é
Agora somo tudo: a derivada do lado esquerdo é
e isso deve ser igual a
. Portanto obtemos a equação (após diferenciar):
Passo 4
Agrupo os termos que contêm
de um lado e os termos sem
do outro, para isolar
.
Coloco os termos com
à esquerda e os demais à direita:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 5
Isolo
dividindo ambos os lados pelo coeficiente de
:
Agora simplifico fatorando constantes quando possível. No numerador fatoro
e no denominador fatoro
:
Dividindo numerador e denominador por
dá:
Essa forma é mais compacta e apropriada para a prova; dá o mesmo resultado da fração não simplificada.
Passo 6
Dica rápida para a prova: escreva claramente cada derivada termo a termo, marque cada aplicação de regra (produto ou cadeia) e, ao isolar
, sempre fatorize para simplificar. Se quiser, pode multiplicar numerador e denominador por
para trocar a ordem
por
, mas mantenha consistência no sinal.