Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:
x^{3}-3 x^{2} y^{4}+4 y^{3}=6 x

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
x^{3}-3 x^{2} y^{4}+4 y^{3}=6 x.
O que se pede é a derivada de y em relação a x, ou seja \dfrac{dy}{dx} (também escrita como y'), assumindo que y depende de x — isto é, y=y(x). Listei a equação dada e o objetivo: encontrar y'.

Passo 2

Vamos lembrar as regras que vamos usar (explicadinhas passo a passo):
  • Regra da cadeia: se y=y(x) e queremos \dfrac{d}{dx}\bigl(f(y)\bigr), então
\frac{d}{dx}\bigl(f(y)\bigr)=f'(y)\,y'.
Isto significa: derivar f em relação a y e multiplicar por y'.
  • Regra do produto: se tivermos u(x)\,v(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
Aplicaremos a regra do produto quando aparecer um termo como x^{2}y^{4} (produto de x^{2} por y^{4}).
  • Notação: vou escrever y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Diferencio ambos os lados da igualdade em relação a x. Diferencio termo a termo usando as regras acima.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Derivada do segundo termo -3x^{2}y^{4}: é uma constante -3 vezes o produto x^{2}\cdot y^{4}. Usando produto e cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{4}\bigr)=\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y^{4}+x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(y^{4}) =2x\,y^{4}+x^{2}\cdot(4y^{3}y').
Multiplicando pelo -3:
\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}y^{4}\bigr)=-3\bigl(2x\,y^{4}+4x^{2}y^{3}y'\bigr)=-6x\,y^{4}-12x^{2}y^{3}y'.
Derivada do terceiro termo 4y^{3}: é 4 vezes a derivada de y^{3}. Pela cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(4y^{3}\bigr)=4\cdot(3y^{2}y')=12y^{2}y'.
Derivada do lado direito 6x é
\frac{d}{dx}(6x)=6.
Agora somo tudo: a derivada do lado esquerdo é
3x^{2}-6x\,y^{4}-12x^{2}y^{3}y'+12y^{2}y',
e isso deve ser igual a 6. Portanto obtemos a equação (após diferenciar):
3x^{2}-6x\,y^{4}-12x^{2}y^{3}y'+12y^{2}y'=6.

Passo 4

Agrupo os termos que contêm y' de um lado e os termos sem y' do outro, para isolar y'.
Coloco os termos com y' à esquerda e os demais à direita:
-12x^{2}y^{3}y'+12y^{2}y' = 6 - 3x^{2} + 6x\,y^{4}.
Fatorando y' no lado esquerdo:
\bigl(-12x^{2}y^{3}+12y^{2}\bigr)\,y' = 6 - 3x^{2} + 6x\,y^{4}.

Passo 5

Isolo y' dividindo ambos os lados pelo coeficiente de y':
y'=\frac{6 - 3x^{2} + 6x\,y^{4}}{-12x^{2}y^{3}+12y^{2}}.
Agora simplifico fatorando constantes quando possível. No numerador fatoro 3 e no denominador fatoro 12y^{2}:
y'=\frac{3\bigl(2 - x^{2} + 2x\,y^{4}\bigr)}{12y^{2}\bigl(1 - x^{2}y\bigr)}.
Dividindo numerador e denominador por 3 dá:
y'=\frac{2 - x^{2} + 2x\,y^{4}}{4y^{2}\bigl(1 - x^{2}y\bigr)}.
Essa forma é mais compacta e apropriada para a prova; dá o mesmo resultado da fração não simplificada.

Passo 6

Dica rápida para a prova: escreva claramente cada derivada termo a termo, marque cada aplicação de regra (produto ou cadeia) e, ao isolar y', sempre fatorize para simplificar. Se quiser, pode multiplicar numerador e denominador por -1 para trocar a ordem 1-x^{2}y por x^{2}y-1, mas mantenha consistência no sinal.

Resposta

y'=\frac{2 - x^{2} + 2x\,y^{4}}{4y^{2}\bigl(1 - x^{2}y\bigr)}

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