Ache a diferencial total dw.
w=x \cos y-y \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
w = x\cos y \;-\; y\operatorname{sen} x
e pede a diferencial total dw. Para isso vamos usar a definição de diferencial total em termos das derivadas parciais:
dw = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de w em relação a x, mantendo y constante.
A derivada de x\cos y em relação a x é \cos y, pois \cos y é constante.
A derivada de -y\operatorname{sen} x em relação a x é -y\cos x.
Logo,
\frac{\partial w}{\partial x} = \cos y \;-\; y\cos x.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de w em relação a y, mantendo x constante.
A derivada de x\cos y em relação a y é -x\operatorname{sen} y.
A derivada de -y\operatorname{sen} x em relação a y é -\operatorname{sen} x, pois \operatorname{sen} x é constante.
Logo,
\frac{\partial w}{\partial y} = -\,x\operatorname{sen} y \;-\;\operatorname{sen} x.

Passo 4

Substituindo as derivadas parciais na fórmula da diferencial total, obtemos
dw = (\cos y - y\cos x)\,dx \;+\;(-\,x\operatorname{sen} y - \operatorname{sen} x)\,dy.

Resposta

dw = (\cos y - y\cos x)\,dx + (-x\operatorname{sen} y - \operatorname{sen} x)\,dy.

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