Encontrar as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=\frac{x+2 y}{x^{2}-y} ; f_{y}(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de
f(x,y)=\frac{x+2y}{x^{2}-y}
em relação a y. O conteúdo aqui é derivada parcial e vamos usar a regra do quociente, tratando x como constante.

Passo 2

Lembrando que a derivada parcial de f em relação a y é
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{u(y)}{v(y)}\biggr)
mantendo x fixo, onde u(y)=x+2y e v(y)=x^{2}-y.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente: se f=u/v, então
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{u'_{y}\,v - u\,v'_{y}}{v^{2}}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v em relação a y:
u(y)=x+2y\quad\Longrightarrow\quad u'_{y}=2,
v(y)=x^{2}-y\quad\Longrightarrow\quad v'_{y}=-1.

Passo 5

Substituindo em
f_{y}(x,y)=\frac{2\,(x^{2}-y)-(x+2y)\,(-1)}{(x^{2}-y)^{2}}
temos
f_{y}(x,y) =\frac{2x^{2}-2y + x+2y}{(x^{2}-y)^{2}} =\frac{2x^{2}+x}{(x^{2}-y)^{2}}.

Resposta

f_{y}(x,y)=\frac{2x^{2}+x}{(x^{2}-y)^{2}}.

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