O potencial elétrico V no ponto (x, y, z) é dado por \frac{6}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
a) Descreva as superficies equipotenciais, isto é, as superficies de nivel de V que representam onde o potencial elétrico é constante.
b) Ache a equaçāo da superficie equipotencial V=120

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial elétrico
V(x,y,z) = \frac{6}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
e pede duas coisas:
  1. Descrever as superfícies equipotenciais, isto é, as curvas de nível de V (lugares onde V é constante).
  2. Encontrar a equação dessa superfície quando V=120.
Para resolver isso, vamos usar a ideia de nível de função: se V é constante igual a um valor V_0, então o conjunto dos pontos (x,y,z) que satisfazem
\frac{6}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = V_0
define a superfície equipotencial correspondente.

Passo 2

Começando com o caso geral, igualamos o potencial a um valor arbitrário V_0:
\frac{6}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = V_0.
Resolvendo para x^2+y^2+z^2, multiplicamos ambos os lados por \sqrt{x^2+y^2+z^2} e depois isolamos a raiz:
6 = V_0 \,\sqrt{x^2+y^2+z^2} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \frac{6}{V_0}.
Elevando ao quadrado, obtemos
x^2+y^2+z^2 = \Bigl(\tfrac{6}{V_0}\Bigr)^{2}.
Isto é a equação de uma esfera de raio \tfrac{6}{V_0} centrada na origem. Logo, todas as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas de raio r = 6/V_0.

Passo 3

Agora, para o caso específico V_0 = 120, basta substituir na fórmula do raio:
r = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}.
Portanto a equação da superfície onde V=120 é
x^2 + y^2 + z^2 = \bigl(\tfrac{1}{20}\bigr)^{2} \;=\;\frac{1}{400}.

Resposta

A superfície equipotencial geral V=V_0 é a esfera
x^2+y^2+z^2 = \Bigl(\tfrac{6}{V_0}\Bigr)^2.
Para V=120, a equação é
x^2 + y^2 + z^2 = \tfrac{1}{400}.

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