Mostre que os vetores \boldsymbol{u}=(1,2,3), \boldsymbol{v}=(0,1,2) e \boldsymbol{w}=(0,0,1) geram \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores \boldsymbol{u}=(1,2,3), \boldsymbol{v}=(0,1,2) e \boldsymbol{w}=(0,0,1) geram \mathbb{R}^3. As informações dadas são exatamente as coordenadas desses três vetores em \mathbb{R}^3.\n
O que precisamos demonstrar (de forma clara e prática) é que qualquer vetor arbitrário de \mathbb{R}^3, digamos (x,y,z), pode ser escrito como combinação linear de \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}.
Passo 2
Vou explicar o que significa "gerar \mathbb{R}^3" e qual estratégia usaremos. Um conjunto de vetores gera \mathbb{R}^3 se, para todo vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, existem escalares (números) \alpha,\beta,\gamma tais que
Estratégia prática (muito usada em provas): escrever essa igualdade componente a componente e resolver o sistema linear para \alpha,\beta,\gamma. Se sempre encontrarmos solução para qualquer (x,y,z), então os vetores geram \mathbb{R}^3.
Passo 3
Escrevemos a combinação linear com incógnitas \alpha,\beta,\gamma:
\alpha(1,2,3)+\beta(0,1,2)+\gamma(0,0,1)=(x,y,z).
Agora vamos transformar isso em equações coordenada por coordenada. Multiplicando e somando coordenadas, obtemos o sistema
Resolvendo a primeira equação, encontramos imediatamente
\alpha = x.
Explico: a primeira coordenada da combinação é apenas \alpha (porque \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} têm primeira coordenada zero), então para obter primeira coordenada x do vetor alvo tem que ser \alpha=x.
Passo 5
Substituímos \alpha=x na segunda equação 2\alpha+\beta=y. Isso dá
2x+\beta = y.
Isolando \beta, obtemos
\beta = y-2x.
Explanação rápida: subtrai-se 2x em ambos os lados, procedimento algebricamente direto.
Passo 6
Agora substituímos \alpha=x e \beta=y-2x na terceira equação 3\alpha+2\beta+\gamma=z. Fazendo isso passo a passo:
3\alpha+2\beta+\gamma = 3x + 2(y-2x) + \gamma.
Calculemos 3x + 2(y-2x):
3x + 2y -4x = (3x-4x)+2y = -x + 2y.
Portanto a terceira equação vira
-x + 2y + \gamma = z.
Isolando \gamma, obtemos
\gamma = z + x - 2y.
Detalhe do passo algébrico: adicionamos x-2y a ambos os lados para passar os termos ao outro lado.
Passo 7
Concluímos que, para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, existem sempre escalares \alpha,\beta,\gamma dados por
\alpha = x,\qquad \beta = y-2x,\qquad \gamma = z + x - 2y,
que satisfazem \alpha\boldsymbol{u}+\beta\boldsymbol{v}+\gamma\boldsymbol{w}=(x,y,z). Ou seja, para qualquer vetor alvo encontramos coeficientes; portanto os vetores \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w} geram \mathbb{R}^3.\n
Uma observação prática: isso também mostra que a representação é única (pois resolvemos o sistema e obtivemos valores fixos para \alpha,\beta,\gamma), o que implica que os vetores são linearmente independentes — mas para responder ao enunciado bastou mostrar que toda escolha de (x,y,z) é alcançável.
Passo 8
Para fixar a ideia, um exemplo rápido: pegue (x,y,z)=(1,0,0). Pelas fórmulas acima,
ou seja, funciona e ilustra o procedimento que usaríamos na prova.
Resposta
Sim: para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 temos (x,y,z)=x\boldsymbol{u}+(y-2x)\boldsymbol{v}+(z+x-2y)\boldsymbol{w}, logo \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w} geram \mathbb{R}^3.