Para qual valor de k o vetor \boldsymbol{u}=(1,-2, k) de \mathbb{R}^{3}, será combinação linear dos vetores \boldsymbol{v}=(3,0,2) e \boldsymbol{w}= (2,-1,-5) ?
Passo 1
O enunciado dá os vetores \boldsymbol{u}=(1,-2,k), \boldsymbol{v}=(3,0,2) e \boldsymbol{w}=(2,-1,-5).
A pergunta é: para qual valor de \,k o vetor \boldsymbol{u} será combinação linear de \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}?
Informações relevantes: as coordenadas de \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} estão todas em \mathbb{R}^3. A ideia é procurar escalares (coeficientes) que combinem \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} para formar \boldsymbol{u}.
Passo 2
Definição e estratégia (passo-a-passo): dizer que \boldsymbol{u} é combinação linear de \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} significa que existem escalares \,a e \,b tais que
a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}.
Aqui \,a e \,b são números reais desconhecidos que queremos achar — e a partir deles obteremos o valor de \,k. Vou escrever essa igualdade coordenada a coordenada: cada componente (x, y, z) gera uma equação.
Passo 3
Escrevendo a equação vetorial componente a componente:
a(3,0,2)+b(2,-1,-5)=(1,-2,k).
Isto gera o sistema de equações
\begin{cases} 3a+2b=1,\\[4pt] 0\cdot a - b = -2,\\[4pt] 2a-5b = k. \end{cases}]
Passo 4
Resolver a equação da segunda coordenada (aqui é a mais simples):
0\cdot a - b = -2 \implies -b=-2 \implies b=2.
Expliquei: como o coeficiente de a é zero na segunda coordenada, a equação envolve só b e já dá b=2.
Passo 5
Substituir \,b=2 na equação da primeira coordenada para achar \,a:
3a+2b=1 \implies 3a+2\cdot 2 = 1.
Calcule passo a passo:
3a+4=1 \implies 3a=1-4=-3 \implies a=-1.
Passo 6
Agora usar \,a=-1 e \,b=2 na terceira coordenada para obter \,k:
k = 2a-5b = 2(-1)-5(2).
Calcule:
k = -2 -10 = -12.
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar): calcular a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w} com a=-1 e b=2: