Ache as dimensões da caixa retangular de volume máximo, faces paralelas aos planos coordenados, que pode ser inscrita no elipsoide
.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões da caixa retangular de volume máximo, cujas faces são paralelas aos planos coordenados, e que pode ser inscrita no elipsoide dado. As informações relevantes fornecidas são:
- Equação do elipsoide:
- A caixa tem faces paralelas aos planos coordenados. Isso significa que, se tomarmos um vértice do octante positivo da caixa em
com , , , então os outros vértices são obtidos trocando sinais (caixa centrada na origem) e as dimensões da caixa serão , , . - O que se pede: encontrar os comprimentos
, , que maximizam o volume da caixa sujeita à restrição do elipsoide.
Passo 2
Escolher variáveis e escrever objetivo e restrição de forma matemática.
- Variáveis:
, , são as semi‑dimensões da caixa ao longo dos eixos , , (isto é, a caixa vai de a em , de a em , de a em ). - Volume da caixa em função de
:
- Restrição imposta pelo elipsoide (o vértice
deve satisfazer a equação do elipsoide). Pegou isso da equação do enunciado:
Queremos maximizar
sujeito a essa restrição.
Passo 3
Explicação didática do método de multiplicadores de Lagrange (por que e como usar).
- Ideia: para maximizar uma função
sujeita a uma restrição , os pontos candidatos internos onde a restrição é ativa e há extremos satisfazem
onde
é o multiplicador de Lagrange e
indica o gradiente (vetor das derivadas parciais).
- Intuição simples: no ponto extremo sob a restrição, a direção em que
mais cresce é paralela à direção em que a restrição muda, logo os vetores gradiente são proporcionais. - Aqui tomamos
e . Usar multiplicadores permite transformar o problema com restrição num sistema de equações algébricas.
Passo 4
Aplicar o método: calcular gradientes e montar as equações de Lagrange.
- Cálculo das derivadas parciais de
(cada variável tratada separadamente; explicando: derivada parcial em relação a trata como constantes):
- Cálculo das derivadas parciais de
:
- Condição de Lagrange
dá o sistema
Podemos simplificar dividindo as primeiras duas equações por
e a terceira por
, obtendo
Passo 5
Resolver o sistema para achar relações entre
,
e
.
- Divida a primeira equação pela segunda (ambas não nulas em um máximo interior):
- Isso implica
. Como e (escolhemos semi‑dimensões positivas), segue
- Agora compare, por exemplo, a primeira equação com a terceira. Substituindo
na primeira e terceira equações:
primeira:portanto .
terceira:.
Usandona terceira:
Como
, temos
, isto é
(negativo não faz sentido aqui, então tomamos a solução positiva).
Passo 6
Determinar
usando a restrição do elipsoide.
- Substituir
e na equação do elipsoide que pegamos da condição do enunciado:
- Ao substituir:
- Calcular os termos:
- Então
- Como
e , obtemos
Passo 7
Calcular as dimensões finais da caixa e, se quiser, o volume máximo (opcional para verificar).
- As medidas da caixa (comprimentos totais) são
, , . Substituindo:
- Volume máximo (cheque):
- Breve justificativa de que é máximo: o conjunto de pontos
que satisfazem a restrição é compacto e é contínua, então existe um máximo; o ponto crítico encontrado é o candidato interior e, por simetria e mudança de sinal, é o máximo buscado.
Passo 8
Resumo final e encorajamento.
- Resultado: a caixa de volume máximo é a que tem semi‑eixos
, , , ou seja dimensões . - Você conseguiu! Se quiser, dá pra praticar aplicando o mesmo método a um elipsoide diferente ou pedindo para maximizar apenas a área de uma face sob restrição similar — repete os passos e vendeou o processo de Lagrange.