Ache as dimensões da caixa retangular de volume máximo, faces paralelas aos planos coordenados, que pode ser inscrita no elipsoide 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=36.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões da caixa retangular de volume máximo, cujas faces são paralelas aos planos coordenados, e que pode ser inscrita no elipsoide dado. As informações relevantes fornecidas são:
  • Equação do elipsoide:
4x^{2}+4y^{2}+z^{2}=36.
  • A caixa tem faces paralelas aos planos coordenados. Isso significa que, se tomarmos um vértice do octante positivo da caixa em (a,b,c) com a>0, b>0, c>0, então os outros vértices são obtidos trocando sinais (caixa centrada na origem) e as dimensões da caixa serão 2a, 2b, 2c.
  • O que se pede: encontrar os comprimentos 2a, 2b, 2c que maximizam o volume da caixa sujeita à restrição do elipsoide.

Passo 2

Escolher variáveis e escrever objetivo e restrição de forma matemática.
  • Variáveis: a, b, c são as semi‑dimensões da caixa ao longo dos eixos x, y, z (isto é, a caixa vai de -a a a em x, de -b a b em y, de -c a c em z).
  • Volume da caixa em função de (a,b,c):
V(a,b,c) = (2a)(2b)(2c) = 8abc.
  • Restrição imposta pelo elipsoide (o vértice (a,b,c) deve satisfazer a equação do elipsoide). Pegou isso da equação do enunciado:
4a^{2}+4b^{2}+c^{2}=36.
Queremos maximizar V(a,b,c) sujeito a essa restrição.

Passo 3

Explicação didática do método de multiplicadores de Lagrange (por que e como usar).
  • Ideia: para maximizar uma função f(a,b,c) sujeita a uma restrição g(a,b,c)=0, os pontos candidatos internos onde a restrição é ativa e há extremos satisfazem
\nabla f = \lambda \nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange e \nabla indica o gradiente (vetor das derivadas parciais).
  • Intuição simples: no ponto extremo sob a restrição, a direção em que f mais cresce é paralela à direção em que a restrição muda, logo os vetores gradiente são proporcionais.
  • Aqui tomamos f(a,b,c)=V(a,b,c)=8abc e g(a,b,c)=4a^{2}+4b^{2}+c^{2}-36. Usar multiplicadores permite transformar o problema com restrição num sistema de equações algébricas.

Passo 4

Aplicar o método: calcular gradientes e montar as equações de Lagrange.
  • Cálculo das derivadas parciais de f (cada variável tratada separadamente; explicando: derivada parcial em relação a a trata b,c como constantes):
\frac{\partial f}{\partial a}=8\,b c,\quad \frac{\partial f}{\partial b}=8\,a c,\quad \frac{\partial f}{\partial c}=8\,a b.
  • Cálculo das derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial a}=8a,\quad \frac{\partial g}{\partial b}=8b,\quad \frac{\partial g}{\partial c}=2c.
  • Condição de Lagrange \nabla f = \lambda \nabla g dá o sistema
8 b c = \lambda \, 8 a,
8 a c = \lambda \, 8 b,
8 a b = \lambda \, 2 c.
Podemos simplificar dividindo as primeiras duas equações por 8 e a terceira por 2, obtendo
b c = \lambda a, \quad a c = \lambda b, \quad 4 a b = \lambda c.

Passo 5

Resolver o sistema para achar relações entre a, b e c.
  • Divida a primeira equação pela segunda (ambas não nulas em um máximo interior):
\frac{b c}{a c}=\frac{\lambda a}{\lambda b}\quad\Rightarrow\quad \frac{b}{a}=\frac{a}{b}.
  • Isso implica b^{2}=a^{2}. Como a>0 e b>0 (escolhemos semi‑dimensões positivas), segue
b=a.
  • Agora compare, por exemplo, a primeira equação com a terceira. Substituindo b=a na primeira e terceira equações:
    primeira: a c = \lambda a portanto c=\lambda.
    terceira: 4 a^{2} = \lambda c.
    Usando c=\lambda na terceira:
4 a^{2} = \lambda^{2}.
Como c=\lambda, temos c^{2}=4 a^{2}, isto é
c^{2}=4a^{2}\quad\Rightarrow\quad c=2a
(negativo não faz sentido aqui, então tomamos a solução positiva).

Passo 6

Determinar a usando a restrição do elipsoide.
  • Substituir b=a e c=2a na equação do elipsoide que pegamos da condição do enunciado:
4a^{2}+4b^{2}+c^{2}=36.
  • Ao substituir:
4a^{2}+4a^{2}+(2a)^{2}=36.
  • Calcular os termos:
4a^{2}+4a^{2}+4a^{2}=12a^{2}=36.
  • Então
a^{2}=3\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{3}.
  • Como b=a e c=2a, obtemos
b=\sqrt{3},\qquad c=2\sqrt{3}.

Passo 7

Calcular as dimensões finais da caixa e, se quiser, o volume máximo (opcional para verificar).
  • As medidas da caixa (comprimentos totais) são 2a, 2b, 2c. Substituindo:
2a = 2\sqrt{3},\qquad 2b = 2\sqrt{3},\qquad 2c = 4\sqrt{3}.
  • Volume máximo (cheque):
V_{\max}=8abc = 8\cdot (\sqrt{3})\cdot(\sqrt{3})\cdot(2\sqrt{3}) = 8\cdot 3\cdot 2\sqrt{3} = 48\sqrt{3}.
  • Breve justificativa de que é máximo: o conjunto de pontos (a,b,c) que satisfazem a restrição é compacto e V é contínua, então existe um máximo; o ponto crítico encontrado é o candidato interior e, por simetria e mudança de sinal, é o máximo buscado.

Passo 8

Resumo final e encorajamento.
  • Resultado: a caixa de volume máximo é a que tem semi‑eixos a=\sqrt{3}, b=\sqrt{3}, c=2\sqrt{3}, ou seja dimensões 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}.
  • Você conseguiu! Se quiser, dá pra praticar aplicando o mesmo método a um elipsoide diferente ou pedindo para maximizar apenas a área de uma face sob restrição similar — repete os passos e vendeou o processo de Lagrange.

Resposta

2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}

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