Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto
:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou deixar tudo bem claro):
- Dá a equação do gráfico (superfície)
- Dá o ponto
que pertence a essa superfície (verificação implícita: substituindo os valores obtém-se , então o ponto está na superfície). - Pede duas coisas no ponto
: - A equação do plano tangente à superfície em
. - A equação da reta normal à superfície em
.
- A equação do plano tangente à superfície em
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Tratar a superfície como conjunto de pontos que satisfazem uma equação do tipo
. É conveniente definir Assim a superfície é . - Resultado chave: o gradiente de
, é um vetor normal à superfície em cada ponto. Ou seja, em o vetor é normal ao plano tangente. - Plano tangente em
: equação Isso significa que o plano contém todos os vetores que são ortogonais ao vetor normal . - Reta normal em
: é a reta que passa por e tem direção . Em forma paramétrica:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (a parte técnica, explicando cada termo):
- Para
: diferenciar em relação a dá (produto: varia, tratados como constantes). Diferenciar em relação a dá . O termo não depende de . Logo - Para
: diferenciar em relação a dá . Diferenciar dá . Os outros termos não dependem de . Logo - Para
: diferenciar em relação a dá . Diferenciar em relação a aplica regra da potência: . Logo
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
(substituir e calcular passo a passo):
- Calcular
: - Calcular
: - Calcular
: - Portanto o gradiente no ponto é
Passo 5
Montar a equação do plano tangente usando
:
- A fórmula do plano tangente em
é Substituindo e : - Agora simplificar a expressão (fazer as contas para ficar numa forma bonita):
Primeiro expandir os produtos:Somando as constantes , obtemos Podemos também multiplicar por se preferir uma forma com coeficiente positivo de : Ambas representam o mesmo plano. Aqui vou apresentar a forma mais direta encontrada:
Passo 6
Montar a equação da reta normal (forma paramétrica e simétrica):
- A reta normal passa por
e tem direção . Em forma paramétrica, com parâmetro : - Em forma simétrica (quando os componentes da direção são diferentes de zero):
]
Passo 7
Recap rápido e dica para a prova (curto e motivador):
- Método padrão: transformar a equação em
, calcular , avaliar em , usar produto escalar para o plano e usar como direção para a reta normal. Vai funcionar para qualquer superfície dada implicitamente. - Você já tem as fórmulas prontas para decorar: plano tangente
e reta normal . Força aí — dá para fazer rápido na prova.