Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto P :
x y z-4 x z^{3}+y^{3}=10 ; P=(-1,2,1)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou deixar tudo bem claro):
  • Dá a equação do gráfico (superfície) x y z - 4 x z^{3} + y^{3} = 10.
  • Dá o ponto P = (-1,2,1) que pertence a essa superfície (verificação implícita: substituindo os valores obtém-se 10, então o ponto está na superfície).
  • Pede duas coisas no ponto P:
    1. A equação do plano tangente à superfície em P.
    2. A equação da reta normal à superfície em P.

Passo 2

Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Tratar a superfície como conjunto de pontos que satisfazem uma equação do tipo F(x,y,z)=0. É conveniente definir F(x,y,z) = x y z - 4 x z^{3} + y^{3} - 10.Assim a superfície é \{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=0\}.
  • Resultado chave: o gradiente de F, \nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right),é um vetor normal à superfície em cada ponto. Ou seja, em P o vetor \nabla F(P) é normal ao plano tangente.
  • Plano tangente em P=(x_0,y_0,z_0): equação \nabla F(P)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.Isso significa que o plano contém todos os vetores que são ortogonais ao vetor normal \nabla F(P).
  • Reta normal em P: é a reta que passa por P e tem direção \nabla F(P). Em forma paramétrica: (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t\,\nabla F(P).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (a parte técnica, explicando cada termo):
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial x}: diferenciar x y z em relação a x y z (produto: x varia, y,z tratados como constantes). Diferenciar -4 x z^{3} em relação a x -4 z^{3}. O termo y^{3}-10 não depende de x. Logo \frac{\partial F}{\partial x} = y z - 4 z^{3}.
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial y}: diferenciar x y z em relação a y x z. Diferenciar y^{3} 3 y^{2}. Os outros termos não dependem de y. Logo \frac{\partial F}{\partial y} = x z + 3 y^{2}.
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial z}: diferenciar x y z em relação a z x y. Diferenciar -4 x z^{3} em relação a z aplica regra da potência: -4 x \cdot 3 z^{2} = -12 x z^{2}. Logo \frac{\partial F}{\partial z} = x y - 12 x z^{2}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(-1,2,1) (substituir e calcular passo a passo):
  • Calcular \dfrac{\partial F}{\partial x}(P): \frac{\partial F}{\partial x}(P)=y z - 4 z^{3} = 2\cdot1 - 4\cdot1^{3} = 2 - 4 = -2.
  • Calcular \dfrac{\partial F}{\partial y}(P): \frac{\partial F}{\partial y}(P)=x z + 3 y^{2} = (-1)\cdot1 + 3\cdot 2^{2} = -1 + 12 = 11.
  • Calcular \dfrac{\partial F}{\partial z}(P): \frac{\partial F}{\partial z}(P)=x y - 12 x z^{2} = (-1)\cdot2 - 12\cdot(-1)\cdot1^{2} = -2 + 12 = 10.
  • Portanto o gradiente no ponto é \nabla F(P) = (-2,\,11,\,10).

Passo 5

Montar a equação do plano tangente usando \nabla F(P):
  • A fórmula do plano tangente em P=(x_0,y_0,z_0) é \nabla F(P)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.Substituindo P=(-1,2,1) e \nabla F(P)=(-2,11,10): (-2)(x+1)+11(y-2)+10(z-1)=0.
  • Agora simplificar a expressão (fazer as contas para ficar numa forma bonita):
    Primeiro expandir os produtos: -2x -2 +11y -22 +10z -10 = 0.Somando as constantes -2-22-10 = -34, obtemos -2x + 11y + 10z -34 = 0.Podemos também multiplicar por -1 se preferir uma forma com coeficiente positivo de x: 2x - 11y - 10z +34 = 0.Ambas representam o mesmo plano. Aqui vou apresentar a forma mais direta encontrada: -2x + 11y + 10z - 34 = 0.

Passo 6

Montar a equação da reta normal (forma paramétrica e simétrica):
  • A reta normal passa por P e tem direção \nabla F(P)=(-2,11,10). Em forma paramétrica, com parâmetro t: \begin{cases} x(t) = -1 - 2t,\\[4pt] y(t) = 2 + 11t,\\[4pt] z(t) = 1 + 10t. \end{cases}
  • Em forma simétrica (quando os componentes da direção são diferentes de zero): \frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{11}=\frac{z-1}{10}.]

Passo 7

Recap rápido e dica para a prova (curto e motivador):
  • Método padrão: transformar a equação em F(x,y,z)=0, calcular \nabla F, avaliar em P, usar produto escalar para o plano e usar \nabla F como direção para a reta normal. Vai funcionar para qualquer superfície dada implicitamente.
  • Você já tem as fórmulas prontas para decorar: plano tangente \nabla F(P)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0 e reta normal (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\nabla F(P). Força aí — dá para fazer rápido na prova.

Resposta

-2x + 11y + 10z - 34 = 0
\displaystyle (x,y,z)=(-1,2,1)+t(-2,11,10)

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