Ache os extremos e os pontos de sela de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os extremos (mínimos e máximos locais) e os pontos de sela de
:
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
está definida para todos os pares . - O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificá‑los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Passo 2
Como vamos proceder (explicando a ideia antes de calcular): para funções de duas variáveis, primeiro achamos os pontos críticos resolvendo
onde
é o vetor dos derivados parciais. Depois usamos o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana) para classificar cada ponto crítico. Vou explicar cada conceito à medida que usar.
Breve ideia do teste das segundas derivadas:
- Definir as segundas derivadas
e a matriz Hessiana
- Calcular o determinante
. - Regras de classificação:
- Se
e então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Vou aplicar isso passo a passo.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras com explicações:
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante. A derivada de é , de é (pois não depende de ), de é , e de é . Logo
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante. A derivada de é , de é , e os outros termos são zero. Logo
Passo 4
Encontrar os pontos onde
Resolvendo cada equação:
Portanto existe um único ponto crítico: (\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)].
Também calculo o valor da função nesse ponto (útil para a resposta final):
Passo 5
Agora a classificação usando as segundas derivadas:
- Calcular as segundas derivadas:
Esses valores são constantes (não dependem de
).
- Montar a Hessiana e calcular seu determinante:
Como
, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um ponto de sela. Explicando em palavras: as curvaturas nas direções
e
têm sinais opostos (
e
), então a superfície sobe numa direção e desce noutra — comportamento típico de sela.]
Passo 6
Conclusão prática para a prova e dica de memorização:
- Encontrou o gradiente, resolveu as equações lineares e obteve o ponto crítico; sempre calcule as segundas derivadas e o determinante da Hessiana.
- Lembre:
significa ponto de sela (nenhum extremo local). Se precisar de um exemplo paralelo rápido para fixar: a função tem Hessiana com e , também ponto de sela — padrão semelhante ao nosso caso.
Resposta
Ponto crítico:
é ponto de sela com valor
.
Não há mínimos nem máximos locais.
Não há mínimos nem máximos locais.