Ache os extremos e os pontos de sela de f :
f(x, y)=x^{2}-4 y^{2}-x+2 y

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para encontrar os extremos (mínimos e máximos locais) e os pontos de sela de f:
f(x,y)=x^{2}-4y^{2}-x+2y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y) está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificá‑los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).

Passo 2

Como vamos proceder (explicando a ideia antes de calcular): para funções de duas variáveis, primeiro achamos os pontos críticos resolvendo
\nabla f(x,y)=\mathbf{0},
onde \nabla f=(f_x,f_y) é o vetor dos derivados parciais. Depois usamos o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana) para classificar cada ponto crítico. Vou explicar cada conceito à medida que usar.
Breve ideia do teste das segundas derivadas:
  • Definir as segundas derivadas \;f_{xx},\,f_{yy},\,f_{xy}\; e a matriz Hessiana
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • Calcular o determinante D=\det H = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2.
  • Regras de classificação:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
    • Se D<0 então é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar isso passo a passo.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras com explicações:
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante. A derivada de x^{2} é 2x, de -4y^{2} é 0 (pois não depende de x), de -x é -1, e de 2y é 0. Logo
f_x(x,y)=2x-1.
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante. A derivada de -4y^{2} é -8y, de 2y é 2, e os outros termos são zero. Logo
f_y(x,y)=-8y+2.

Passo 4

Encontrar os pontos onde \nabla f=\mathbf{0}\), ou seja resolver o sistema \[\begin{cases} 2x-1=0,\\[4pt] -8y+2=0. \end{cases}
Resolvendo cada equação:
2x-1=0 \implies x=\dfrac{1}{2}, \qquad -8y+2=0 \implies y=\dfrac{1}{4}.
Portanto existe um único ponto crítico: (\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)].
Também calculo o valor da função nesse ponto (útil para a resposta final):
f\!\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right) =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-4\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{4} =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0.]

Passo 5

Agora a classificação usando as segundas derivadas:
  • Calcular as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x)=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x-1)=2,
f_{yy}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(-8y+2)=-8,
f_{xy}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x)=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x-1)=0.
Esses valores são constantes (não dependem de x,y).
  • Montar a Hessiana e calcular seu determinante:
H=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & -8 \end{pmatrix}, \qquad D=\det H = 2\cdot(-8)-0^{2}=-16.
Como D=-16<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um ponto de sela. Explicando em palavras: as curvaturas nas direções x e y têm sinais opostos ( f_{xx}>0 e f_{yy}<0), então a superfície sobe numa direção e desce noutra — comportamento típico de sela.]

Passo 6

Conclusão prática para a prova e dica de memorização:
  • Encontrou o gradiente, resolveu as equações lineares e obteve o ponto crítico; sempre calcule as segundas derivadas e o determinante da Hessiana.
  • Lembre: D<0 significa ponto de sela (nenhum extremo local). Se precisar de um exemplo paralelo rápido para fixar: a função g(x,y)=x^{2}-y^{2} tem Hessiana com f_{xx}=2,f_{yy}=-2,f_{xy}=0 e D=-4<0, também ponto de sela — padrão semelhante ao nosso caso.

Resposta

Ponto crítico: \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right) é ponto de sela com valor f\!\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)=0.
Não há mínimos nem máximos locais.

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