Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito na esfera de raio 6. Ache também as dimensões do de maior volume.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as dimensões de um cilindro circular reto que está dentro de uma esfera de raio 6. Precisamos fazer isso de duas maneiras: uma para o cilindro com a maior área lateral possível e outra para o cilindro com o maior volume possível.
Então, vamos usar conceitos de geometria e cálculo para resolver isso. Primeiro, vamos entender como o cilindro se encaixa na esfera e quais são as relações entre seus raios e alturas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro inscrito na esfera. Imagine um cilindro perfeitamente dentro da esfera, tocando-a exatamente nas laterais. O raio da esfera é 6, então o centro da esfera está no meio do cilindro.
Vamos chamar:
  • de raio da base do cilindro
  • da altura do cilindro
Como o cilindro está dentro da esfera, a diagonal que vai do centro da esfera a um ponto na base do cilindro forma um triângulo retângulo com o raio do cilindro e metade da altura. Pelo Teorema de Pitágoras:
Simplificando:
Essa será nossa primeira equação de relação entre e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para a área lateral do cilindro. A área lateral ( ) de um cilindro é dada por:
Queremos maximizar essa área. Para isso, vamos expressar em função de usando a equação que encontramos:
Substituindo na fórmula da área lateral:
Agora, temos em função de apenas . Vamos derivar essa função em relação a e encontrar o valor de que maximiza .

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
A derivada de em relação a é:
Simplificando:
Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando o numerador é zero:

Passo 5

Agora que encontramos , vamos encontrar usando a relação inicial:
Então, as dimensões do cilindro de maior área lateral são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as dimensões do cilindro com o maior volume. A fórmula do volume ( ) de um cilindro é:
Usando novamente a relação , podemos expressar em termos de :
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos derivar em relação a para encontrar o valor que maximiza .

Passo 7

Derivando em relação a :
A derivada é:
Simplificando:
Igualando a derivada a zero para encontrar o máximo:
Desprezando , temos:

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar :
Portanto, as dimensões do cilindro de maior volume são:

Resposta

  • Máxima Área Lateral: raio e altura
  • Máximo Volume: raio e altura

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