Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função de duas variáveis,
, que é definida de duas formas diferentes dependendo do ponto
. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua em todos os pontos, ou se tem algum ponto onde ela não é contínua. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em um ponto se o limite dela, quando nos aproximamos desse ponto de qualquer direção, for igual ao valor da função naquele ponto. Para funções de duas variáveis, precisamos verificar isso nas duas direções
e
.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
Primeiro, notamos que para todos os pontos diferentes de
, a função é uma fração envolvendo polinômios. Geralmente, polinômios são contínuos em todo lugar onde o denominador não é zero. Vamos verificar onde o denominador pode ser zero:
Para
, esse denominador não é zero porque:
Então, fora do ponto
, a função é contínua.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Vamos simplificar a expressão da função para facilitar o cálculo do limite:
Observamos que simplificamos
para
.
Agora, consideramos uma substituição para facilitar:
Então, quando
, temos
e
. A função fica:
Para calcular o limite, vamos considerar que tanto
quanto
tendem a zero. Notamos que o numerador é
e o denominador é
.
Vamos analisar o comportamento quando
e
tendem a zero:
Podemos observar que o denominador cresce mais rápido que o numerador, já que o denominador está elevado ao cubo e possui termos quadráticos e de quarta potência. Portanto, o limite tende a zero.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 0, que é exatamente o valor da função nesse ponto, concluímos que a função
é contínua no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos, incluindo
.