Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y)=c3 y^4(x+1)^4(y^4+x^2+2 x+1)^3, se (x, y) neq(-1,0) 0, se (x, y)=(-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função de duas variáveis, , que é definida de duas formas diferentes dependendo do ponto . Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua em todos os pontos, ou se tem algum ponto onde ela não é contínua. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em um ponto se o limite dela, quando nos aproximamos desse ponto de qualquer direção, for igual ao valor da função naquele ponto. Para funções de duas variáveis, precisamos verificar isso nas duas direções e .

Passo 3

Vamos analisar a função f(x, y) = 3 y^4(x+1)^4(y^4+x^2+2 x+1)^3, & se (x, y) neq (-1, 0) 0, & se (x, y) = (-1, 0) :
y^4 + x^2 + 2x + 1 = 0
Primeiro, notamos que para todos os pontos diferentes de x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 >= 0 e y^4 >= 0 , a função é uma fração envolvendo polinômios. Geralmente, polinômios são contínuos em todo lugar onde o denominador não é zero. Vamos verificar onde o denominador pode ser zero:
Para , esse denominador não é zero porque:
Então, fora do ponto , a função é contínua.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto f(x, y) = 3 y^4(x+1)^4(y^4+ (x +1)^2)^3 . Para isso, precisamos calcular o limite de z = x + 1 quando f(z, y) = 3 y^4 z^4(y^4 + z^2)^3 se aproxima de lim(z, y) to (0, 0) 3 y^4 z^4(y^4 + z^2)^3 e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Vamos simplificar a expressão da função para facilitar o cálculo do limite:
Observamos que simplificamos para .
Agora, consideramos uma substituição para facilitar:
Então, quando , temos e . A função fica:
Para calcular o limite, vamos considerar que tanto quanto tendem a zero. Notamos que o numerador é e o denominador é .
Vamos analisar o comportamento quando e tendem a zero:
Podemos observar que o denominador cresce mais rápido que o numerador, já que o denominador está elevado ao cubo e possui termos quadráticos e de quarta potência. Portanto, o limite tende a zero.

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de é igual a 0, que é exatamente o valor da função nesse ponto, concluímos que a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos, incluindo .

Exercícios relacionados