Ache a direção de maior decréscimo de w=f(x, y, z)=x+yz em (x, y, z)=(1,1,-1), ou seja, ache o vetor unitário u que minimiza a derivada direcional Du f(1,1,-1).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a direção de maior decréscimo da função
f(x,y,z)=x+yz
no ponto (1,1,-1). Esse problema usa cálculo de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como f=x+yz, vale
partial fpartial x=1z, partial fpartial y=1z, partial fpartial z=-x+yz^2

Passo 3

Avaliar cada parcial em (1,1,-1). Aqui z=-1 e x+y=2, então
partial fpartial x(1,1,-1)=-1, partial fpartial y(1,1,-1)=-1, partial fpartial z(1,1,-1)=-2
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nabla f(1,1,-1)=(-1,,-1,,-2)

Passo 4

A derivada direcional em direção unitária vec u é
Dvec uf=nabla fcdotvec u,
e seu valor mínimo ocorre quando vec u aponta exatamente contra o gradiente:
vec u=-nabla f|nabla f|

Passo 5

Calcular a norma de nabla f(1,1,-1):
|nabla f(1,1,-1)|=raiz(-1)^2+(-1)^2+(-2)^2=raiz6
Portanto a direção de maior decréscimo é
vec u=-(-1,-1,-2)raiz6 =(1,1,2)raiz6

Resposta

vec u = (1,1,2)raiz6

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