Sejam r1(t)=(x1(t), y1(t), z1(t)) e r2(t)=(x2(t), y2(t), z2(t)) curvas no espaço. Mostre que
(r1(t) times r2(t))^prime=r1^prime(t) times r2(t)+r1(t) times r2^prime(t)

Passo 1

O enunciado define duas curvas no espaço
,r1(t)=(x1(t),y1(t),z1(t)) e
,r2(t)=(x2(t),y2(t),z2(t))
e pede para mostrar que
l(r1(t)times r2(t)r)' ;=; r1'(t)times r2(t);+;r1(t)times r2'(t)
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivada de vetores e a definição do produto vetorial. Vamos usar a regra da derivada de produto (Leibniz) componente a componente.

Passo 2

Recordando a definição componente a componente,
r1(t)times r2(t) =l(y1z2-z1y2,;z1x2-x1z2,;x1y2-y1x2r)
Cada componente é diferença de produtos de funções de t.

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente
C1(t)=y1(t),z2(t);-;z1(t),y2(t)
Usando a regra do produto em cada termo temos
C1'(t) = y1',z2 + y1,z2' - l(z1',y2 + z1,y2'r)
Reagrupando
C1'(t) = l(y1',z2-z1',y2r) +l(y1,z2'-z1,y2'r),
onde o primeiro parêntese é a primeira componente de r1'times r2 e o segundo de r1times r2'.

Passo 4

O mesmo procedimento vale para as outras duas componentes:
– a segunda componente de r1times r2 é
,z1x2-x1z2,
e sua derivada se separa em
,(z1'x2-x1'z2)+(z1x2'-x1z2'),
isto é, soma da segunda de r1'times r2 com a de r1times r2'.
– o mesmo para a terceira componente.

Passo 5

Como cada componente de l(r1times r2r)' se decompõe na soma da correspondente de r1'times r2 com a de r1times r2', concluímos a igualdade vetorial desejada.

Resposta

l(r1(t)times r2(t)r)' = r1'(t)times r2(t) + r1(t)times r2'(t)

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