Sejam
e
curvas no espaço. Mostre que
Passo 1
O enunciado define duas curvas no espaço
e
e pede para mostrar que
e pede para mostrar que
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivada de vetores e a definição do produto vetorial. Vamos usar a regra da derivada de produto (Leibniz) componente a componente.
Passo 2
Recordando a definição componente a componente,
Cada componente é diferença de produtos de funções de
.
Passo 3
Vamos derivar a primeira componente
Usando a regra do produto em cada termo temos
Reagrupando
onde o primeiro parêntese é a primeira componente de
e o segundo de
.
Passo 4
O mesmo procedimento vale para as outras duas componentes:
– a segunda componente de é
,
e sua derivada se separa em
,
isto é, soma da segunda de com a de
.
– o mesmo para a terceira componente.
– a segunda componente de
e sua derivada se separa em
isto é, soma da segunda de
– o mesmo para a terceira componente.
Passo 5
Como cada componente de
se decompõe na soma da correspondente de
com a de
, concluímos a igualdade vetorial desejada.