Ache a direção e sentido a partir do ponto (1,3) para o qual os valores de f não mudam, sendo f(x, y)=e^2 y artan(y3 x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a direção e sentido a partir do ponto (1,3) onde os valores da função f(x, y) = e^2y arctan(y3x) não mudam. Para isso, vamos estudar o conceito de derivada direcional e gradiente, que nos ajudam a entender como a função varia em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a direção onde os valores da função não mudam é chamada de direção de nível. Para encontrar essa direção, usamos o gradiente da função, que aponta na direção de maior crescimento da função. A direção que queremos será perpendicular ao gradiente.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função f(x, y). O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
partial fpartial x = e^2y cdot ddx[arctan(y3x)]
Usando a regra da cadeia:
ddxarctan(u) = u'1 + u^2
Aqui, u = y3x, então:
u' = -y3x^2
Portanto:
partial fpartial x = e^2y cdot -y3x^2 (1 + (y3x)^2)

Passo 5

Agora, calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y = ddy[e^2y] cdot arctan(y3x) + e^2y cdot ddy[arctan(y3x)]
Calculando cada parte:
ddye^2y = 2e^2y
E,
ddyarctan(y3x) = 13x (1 + (y3x)^2)
Portanto:
partial fpartial y = 2e^2y arctan(y3x) + e^2y cdot 13x (1 + (y3x)^2)

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente da função no ponto (x, y) é:
nabla f = ( e^2y cdot -y3x^2 (1 + (y3x)^2), ; 2e^2y arctan(y3x) + e^2y cdot 13x (1 + (y3x)^2) )

Passo 7

Vamos avaliar o gradiente no ponto específico (1,3):
Substituindo x = 1 e y = 3:
Para partial fpartial x:
partial fpartial x = e^6 cdot -33(1)^2 (1 + (33(1))^2) = e^6 cdot -33 cdot 2 = e^6 cdot -12
Para partial fpartial y:
Prime, calculamos arctan(33(1)) = arctan(1) = pi4.
Então,
partial fpartial y = 2e^6 cdot pi4 + e^6 cdot 13(1) cdot 2 = pi e^62 + e^66
Portanto, o gradiente no ponto (1,3) é:
nabla f(1,3) = ( -e^62, ; pi e^62 + e^66 )

Passo 8

A direção onde f não muda é perpendicular ao gradiente. Ou seja, se o gradiente é (A, B), então uma direção perpendicular pode ser (B, -A) ou (-B, A).
No nosso caso:
A = -e^62, B = pi e^62 + e^66
Escolhendo (B, -A):
( pi e^62 + e^66, ; e^62 )

Passo 9

Podemos simplificar a direção retirando o fator comum e^6 e focar na relação entre os componentes. Assim, a direção é:
( pi2 + 16, ; 12 )
Para obter a direção unitária, normalizamos o vetor:
Magnitude = raiz(pi2 + 16)^2 + (12)^2
Portanto, o vetor direcional unitário é:
1Magnitude ( pi2 + 16, ; 12 )

Resposta

A direção a partir do ponto (1,3) para a qual os valores de f não mudam é dada pelo vetor
( pi2 + 16, ; 12 )
com sentido determinado por esse vetor.

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