Ache a direção e sentido a partir do ponto para o qual os valores de não mudam, sendo .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a direção e sentido a partir do ponto onde os valores da função não mudam. Para isso, vamos estudar o conceito de derivada direcional e gradiente, que nos ajudam a entender como a função varia em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a direção onde os valores da função não mudam é chamada de direção de nível. Para encontrar essa direção, usamos o gradiente da função, que aponta na direção de maior crescimento da função. A direção que queremos será perpendicular ao gradiente.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra da cadeia:
Aqui, , então:
Portanto:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Calculando cada parte:
E,
Portanto:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente da função no ponto é:
Passo 7
Vamos avaliar o gradiente no ponto específico (1,3):