Calcule, se possivel, sem usar a Regra de LHópital, os limites abaixo. Escolha 2 entre a), b) e c).
b) lim x -infty(raiz16 x^2+1-raiz16 x^2-24 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
b) limxto -inftyl(raiz16x^2+1-raiz16x^2-24xr).
O conteúdo envolve limites no infinito de expressões com radicais, e vamos precisar usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) para eliminar a forma indeterminada “ infty-infty”.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos e dividimos pela soma dos radicais (o conjugado):
raiz16x^2+1-raiz16x^2-24x = l(raiz16x^2+1-raiz16x^2-24xr) l(raiz16x^2+1+raiz16x^2-24xr) raiz16x^2+1+raiz16x^2-24x = (16x^2+1)-(16x^2-24x)raiz16x^2+1+raiz16x^2-24x
Simplificando o numerador, obtemos 24x+1.

Passo 3

Agora fatoramos x dentro de cada radical para expor |x|. Como xto -infty, vale |x|=-x. Temos:
raiz16x^2+1=|x|raiz16+1/x^2=-xraiz16+1/x^2, raiz16x^2-24x=|x|raiz16-24/x=-xraiz16-24/x
Logo a expressão racionalizada vira
24x+1raiz16x^2+1+raiz16x^2-24x =x(24+1/x)-xl(raiz16+1/x^2+raiz16-24/xr) = -24+1/xraiz16+1/x^2+raiz16-24/x

Passo 4

Por fim, aplicamos o limite quando xto -infty. Como 1/xto0 e 1/x^2to0, os radicais tendem a 4. Assim:
limxto -infty-24+1/xraiz16+1/x^2+raiz16-24/x =-24+04+4 =-248 =-3

Resposta

-3

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