Ache três números positivos cuja soma é 30, de modo que o produto deles seja o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos três números positivos cuja soma seja 30 e que maximizem o produto entre eles. O conteúdo usado aqui é otimização de funções em várias variáveis, e podemos aplicar a desigualdade aritmético‐geométrica (AM‐GM) para resolver.

Passo 2

A desigualdade AM‐GM para três números positivos x, y e z afirma que x+y+z3 >= (xyz)^1/3. Vamos usar essa teoria para ligar soma e produto.

Passo 3

Substituindo a soma x+y+z=30 na desigualdade, temos
10 = 303 >= (xyz)^1/3

Passo 4

Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
xyz <= 10^3 = 1000

Passo 5

A igualdade na AM‐GM ocorre se, e somente se, x=y=z. Logo, para atingir o produto máximo, os três números devem ser iguais.

Passo 6

Como x=y=z e x+y+z=30, segue que 3x=30 e portanto x=10. Assim, os números procurados são 10, 10 e 10.

Resposta

10, 10 e 10, com produto máximo igual a 1000.

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