Ache três números positivos cuja soma é 30, de modo que o produto deles seja o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos três números positivos cuja soma seja 30 e que maximizem o produto entre eles. O conteúdo usado aqui é otimização de funções em várias variáveis, e podemos aplicar a desigualdade aritmético‐geométrica (AM‐GM) para resolver.
Passo 2
A desigualdade AM‐GM para três números positivos
,
e
afirma que
. Vamos usar essa teoria para ligar soma e produto.
Passo 3
Substituindo a soma
na desigualdade, temos
Passo 4
Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
Passo 5
A igualdade na AM‐GM ocorre se, e somente se,
. Logo, para atingir o produto máximo, os três números devem ser iguais.
Passo 6
Como
e
, segue que
e portanto
. Assim, os números procurados são 10, 10 e 10.
Resposta
10, 10 e 10, com produto máximo igual a 1000.