Ache a distância do ponto P à reta r.
P=(3,2,1) e r:(x, y, z)=(0,0,3)+t(1,2,1), t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(3,2,1) à reta
r: (x,y,z) = (0,0,3) + t\,(1,2,1),\quad t\in\mathbb{R}.
O conteúdo usado será a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço: se A é um ponto da reta, d o vetor diretor e AP o vetor de A a P, então
\text{dist}(P,r) = \frac{\|AP \times d\|}{\|d\|}.

Passo 2

Escolhemos A=(0,0,3) como ponto na reta. Então o vetor \!AP é
AP = P - A = (3,2,1) - (0,0,3) = (3,\,2,\,-2).

Passo 3

O vetor diretor é d=(1,2,1). Calculamos o produto vetorial:
AP \times d = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 3 & 2 & -2 \\[3pt] 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = 6\,\mathbf{i} \;-\;5\,\mathbf{j} \;+\;4\,\mathbf{k}.]

Passo 4

Agora as normas:
\|AP \times d\| = \sqrt{6^2 + (-5)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 25 + 16} = \sqrt{77},
\|d\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
\text{dist}(P,r) = \frac{\|AP \times d\|}{\|d\|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{77}{6}}.

Resposta

\sqrt{\frac{77}{6}}.

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