Dadas as matrizes:
A=\left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{llll} 1 & 3 & -5 & -7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 3 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cc} 2 & 4 \\\\ -3 & 5 \end{array}\right] e\\\ D=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 7 & 3 & -8 \\\\ -3 & -1 & -1 & -3 \\\\ 4 & 1 & 9 & 0 \\\\ 5 & 3 & 2 & -3 \end{array}\right]
Calcular B (AC).

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A\in\mathbb{R}^{4\times2},\quad B\in\mathbb{R}^{2\times4},\quad C\in\mathbb{R}^{2\times2},\quad D\in\mathbb{R}^{4\times4}
e pede para calcular B\,(A\,C). O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes em duas etapas: primeiro obter \,A\,C\in\mathbb{R}^{4\times2} e em seguida calcular B\,(A\,C)\in\mathbb{R}^{2\times2}. A matriz D não é usada neste produto.

Passo 2

Calcular \,A\,C. Cada elemento de A\,C é o produto escalar de uma linha de A por uma coluna de C:
A\,C =\begin{pmatrix} 1 & -2\\[6pt] 3 & \phantom{-}1\\[6pt] 7 & -4\\[6pt] 5 & \phantom{-}9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4\\[3pt] -3 & 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot2+(-2)\cdot(-3) & 1\cdot4+(-2)\cdot5\\[3pt] 3\cdot2+1\cdot(-3) & 3\cdot4+1\cdot5\\[3pt] 7\cdot2+(-4)\cdot(-3)& 7\cdot4+(-4)\cdot5\\[3pt] 5\cdot2+9\cdot(-3) & 5\cdot4+9\cdot5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 & -6\\\\ 3 & 17\\\\ 26 & 8\\\\ -17 & 65 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora multiplicar B por A\,C:
B\,(A\,C) =\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 & -7\\[3pt] 6 & 2 & -8 & \phantom{-}3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & -6\\\\ 3 & 17\\\\ 26 & 8\\\\ -17 & 65 \end{pmatrix}.
Cada entrada é produto escalar de linha de B por coluna de A\,C:
\begin{aligned} (B\,AC)_{11}&=1\cdot8+3\cdot3+(-5)\cdot26+(-7)\cdot(-17)=6,\\\ (B\,AC)_{12}&=1\cdot(-6)+3\cdot17+(-5)\cdot8+(-7)\cdot65=-450,\\\ (B\,AC)_{21}&=6\cdot8+2\cdot3+(-8)\cdot26+3\cdot(-17)=-205,\\\ (B\,AC)_{22}&=6\cdot(-6)+2\cdot17+(-8)\cdot8+3\cdot65=129. \end{aligned}]

Resposta

B\,(A\,C) =\begin{pmatrix} 6 & -450\\\\ -205 & 129 \end{pmatrix}.

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