Achar a distância entre a reta e o plano
r:(x, y, z)=(3,4,0)+t(0,0,1), t \in \mathbb{R} e \pi: x+y-12=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta \displaystyle r: (x,y,z) = (3,4,0) + t\,(0,0,1), t\in\mathbb{R}
e o plano \displaystyle \pi: x + y - 12 = 0.
O conteúdo aqui é distância entre reta paralela a plano e plano, que se reduz à distância de qualquer ponto da reta ao plano.

Passo 2

Obtemos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano: \displaystyle v = (0,0,1) e \displaystyle n = (1,1,0).
Calculamos o produto escalar \displaystyle v\cdot n = 0\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0.
Como \displaystyle v\cdot n = 0, a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Para reta paralela ao plano, a distância é a distância de um ponto P_0 da reta ao plano.
Tomamos P_0 = (3,4,0). A equação do plano na forma ax+by+cz+d=0 é \displaystyle 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z - 12 = 0, logo a=1, b=1, c=0, d=-12.
A fórmula da distância é
\text{dist} = \frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

Passo 4

Substituindo P_0=(3,4,0):
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 1\cdot3 + 1\cdot4 + 0\cdot0 -12 = 3 + 4 -12 = -5,
\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}.
Portanto,
\text{dist} = \frac{\lvert -5\rvert}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}}

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