Achar a distância entre as retas
r_{1}:(x, y, z)=(1,2,-2)+t(1,1,-2), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(0,1,0)+t(1,3,-4), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas r_{1}:\\ (x,y,z)=(1,2,-2)+t\,(1,1,-2) e r_{2}:\\ (x,y,z)=(0,1,0)+s\,(1,3,-4).
Em geometria analítica 3D, se duas retas se intersectam a distância entre elas é zero; caso contrário usaríamos a fórmula da distância entre retas reversas.

Passo 2

Vamos checar se elas se intersectam. Seja
P_1 + t\,v_1 = P_2 + s\,v_2,
onde P_1=(1,2,-2), v_1=(1,1,-2), P_2=(0,1,0), v_2=(1,3,-4).
Equacionando coordenada a coordenada:
  1. 1 + t = 0 + s
  2. 2 + t = 1 + 3s
  3. -2 - 2t = 0 - 4s

Passo 3

Da equação 1 temos
s = 1 + t - 1 = t - (-1)\quad\Longrightarrow\quad s = 1 + t\quad\text{(corrigindo: na equação 1, \(1+t=s\), logo \(s=1+t\)).}çã
Substituindo em 2:
2 + t = 1 + 3(1 + t) \quad\Longrightarrow\quad 2 + t = 1 + 3 + 3t \quad\Longrightarrow\quad 2 + t = 4 + 3t \quad\Longrightarrow\quad 2t = -2 \quad\Longrightarrow\quad t = -1.
Então s = 1 + (-1) = 0.
Verificando na equação 3:
-2 - 2(-1) = -2 + 2 = 0 \quad\text{e}\quad -4\cdot 0 = 0,
logo a terceira equação também bate.

Passo 4

Encontramos t=-1 e s=0 que satisfazem todas as componentes, ou seja, as retas se intersectam no ponto
P = P_1 + (-1)\,v_1 = (1,2,-2) + (-1)\,(1,1,-2) = (0,1,0).
Como há interseção, a distância entre as retas é zero.

Resposta

A distância entre r_1 e r_2 é 0.

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