(a) Ache a distância entre os pontos P(rho=2, phi=pi / 6, z=0) e Q(rho=1, phi=pi, z=2).
(b) Ache a distância entre os pontos P(r=1, theta=pi / 4, phi=0) e Q(r=1, theta=3 pi / 4, phi=pi)

Passo 1

Beleza! A questão é sobre distância entre dois pontos no espaço 3D, mas eles vêm em sistemas de coordenadas diferentes:
(a) estão em coordenadas cilíndricas d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
(b) estão em coordenadas esféricas
Para achar a distância a gente vai fazer:
  1. Converter cada ponto pra coordenadas cartesianas .
  2. Usar a fórmula da distância euclidiana

Passo 2

Resolvendo (a): P x = rhocosphi, y=rhosinphi, z=z e Q P: x1 = 2cos!tfracpi6 = raiz3, y1 = 2sin!tfracpi6 = 1, z1=0, .
  1. Conversão cilíndrica → cartesiano:
Q: x2 = 1cospi = -1, y2 = 1sinpi = 0, z2=2
Então
dPQ = raizl(x2 - x1r)^2 + l(y2 - y1r)^2 + l(z2 - z1r)^2 = raiz(-1 - raiz3)^2 + (0 - 1)^2 + (2 - 0)^2
(-1 - raiz3)^2 = (1 + raiz3)^2 = 1 + 2raiz3 + 3 = 4 + 2raiz3,
  1. Distância:
(0-1)^2 = 1, (2-0)^2 = 4
Calculemos os quadrados:
dPQ = raiz(4 + 2raiz3) + 1 + 4 = raiz9 + 2raiz3
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Passo 3

Resolvendo (b): P x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta e Q x1 = 1cdotsintfracpi4cos0 = tfracraiz22, y1 = 1cdotsintfracpi4sin0 = 0, z1 = 1cdotcostfracpi4 = tfracraiz22 .
  1. Conversão esférica → cartesiano:
x2 = sintfrac3pi4cospi = tfracraiz22cdot(-1) = -tfracraiz22,
Para P:
y2 = sintfrac3pi4sinpi = tfracraiz22cdot 0 = 0, z2 = costfrac3pi4 = -tfracraiz22
Para Q:
dPQ = raizl(-tfracraiz22 - tfracraiz22r)^2 + (0-0)^2 + l(-tfracraiz22 - tfracraiz22r)^2 = raiz(-raiz2)^2 + 0 + (-raiz2)^2 = raiz2 + 2 = 2
  1. Distância:

Resposta

(a)
(b)

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