Um campo vetorial é definido, em coordenadas esféricas, por F=[(cos theta) / r] ar+[(sen theta) / r] atheta . Determine: (a) a expressão deste campo em coordenadas esféricas no ponto P(x=-1, y=1, z=raiz2) ;(b) a expressão deste campo em coordenadas cartesianas no ponto P(x=-1, y=1, z=raiz2).

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos um campo vetorial em coordenadas esféricas
F(r,theta,phi)=costhetar, ar+sinthetar, atheta
e quer (a) a expressão desse campo no ponto r=raizx^2+y^2+z^2, theta=arccoszr, phi=atan2(y,x) mas ainda em coordenadas esféricas, e (b) a expressão dele em coordenadas cartesianas nesse mesmo ponto.
Conteúdo principal: conversão de ponto cartesiano → esférico ar=(sinthetacosphi), i+(sinthetasinphi), j+(costheta), k, e depois decomposição dos versores esféricos atheta=(costhetacosphi), i+(costhetasinphi), j-(sintheta), k em . Vamos usar as fórmulas
e os versores

Passo 2

Calcular para :
r = .
.
.

Passo 3

Agora avaliamos as componentes do campo no ponto:
Fr=costhetar=cos(pi/4)2=raiz222=raiz24,
Ftheta=sinthetar=sin(pi/4)2=raiz222=raiz24
Não há componente em , então .

Passo 4

Expressão em coordenadas esféricas no ponto boxed F(P)=raiz24, ar+raiz24, atheta :

Passo 5

Para passar pra coordenadas cartesianas, usamos
ar=(sinthetacosphi), i+(sinthetasinphi), j+(costheta), k,
atheta=(costhetacosphi), i+(costhetasinphi), j-(sintheta), k
Substituindo F(P) =tfracraiz24 ar+tfracraiz24 atheta =tfracraiz24l[ ar+ athetar] , e somando:

Passo 6

Calculemos cada componente em sinthetacosphi+costhetacosphi =(sintfracpi4+costfracpi4)costfrac3pi4 =(tfracraiz22+tfracraiz22)(-tfracraiz22) =raiz2cdotl(-tfracraiz22r)=-1 :
  1. Componente (sintheta+costheta)sinphi =raiz2cdottfracraiz22=1, :
costheta-sintheta =tfracraiz22-tfracraiz22=0
Multiplicando F(P)=-tfracraiz24, i;+;tfracraiz24, j;+;0, k .
  1. Componente :
e com o fator vira .
  1. Componente :
Assim, em cartesianas:

Resposta

a) Em coordenadas esféricas no ponto boxed F(P)=raiz24, ar+raiz24, atheta :
boxed F(P)=-raiz24, i+raiz24, j
b) Em coordenadas cartesianas no ponto :

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