Um campo vetorial é definido, em coordenadas esféricas, por
. Determine: (a) a expressão deste campo em coordenadas esféricas no ponto
a expressão deste campo em coordenadas cartesianas no ponto
.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que temos um campo vetorial em coordenadas esféricas
e quer (a) a expressão desse campo no ponto
mas ainda em coordenadas esféricas, e (b) a expressão dele em coordenadas cartesianas nesse mesmo ponto.
Conteúdo principal: conversão de ponto cartesiano → esférico e depois decomposição dos versores esféricos
em
. Vamos usar as fórmulas
Conteúdo principal: conversão de ponto cartesiano → esférico
e os versores
Passo 2
Calcular
para
:
r = .
.
.
r =
Passo 3
Agora avaliamos as componentes do campo no ponto:
Não há componente em
, então
.
Passo 4
Expressão em coordenadas esféricas no ponto
:
Passo 5
Para passar pra coordenadas cartesianas, usamos
Substituindo
,
e somando:
Passo 6
Calculemos cada componente em
:
- Componente
:
Multiplicando
dá
.
- Componente
:
e com o fator
vira
.
- Componente
:
Assim, em cartesianas:
Resposta
a) Em coordenadas esféricas no ponto
:
b) Em coordenadas cartesianas no ponto
: