As superfícies que delimitam um volume são definidas por
e
e
,
e
. Determine, por integração: (a) as áreas determinadas pelas superfícies em questão normais às direções dos vetores unitários
volume determinado pelas superfícies em questão.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um “pedaço” de esfera em coordenadas esféricas delimitado por
-
, -
, -
.
Conteúdo: geometria em coordenadas esféricas.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Para cada par de superfícies constantes (r, θ ou φ) calcular a área usando o elemento de área adequado.
- Calcular o volume usando
.
Passo 2
Área das superfícies normais a
(ou seja,
).
– A única que importa é (em
a “área” vira zero).
– Teoria: para ,
.
Então
– A única que importa é
– Teoria: para
Então
$$A_r=\int_{\theta=0}{\pi/2}\int_{\phi=\pi/3}{\pi/2}1^2\sin\phi,d\phi,d\theta
=\Bigl(\int_0{\pi/2}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{\pi/3}{\pi/2}\sin\phi,d\phi\Bigr).
A_r=\frac{\pi}{2}\cdot\frac12=\frac{\pi}{4}.$$
Passo 3
Área das superfícies normais a
(ou seja,
).
– Temos duas: e
.
– Teoria: para ,
.
Cada uma tem
– Temos duas:
– Teoria: para
Cada uma tem
Como são duas superfícies,
Passo 4
Área das superfícies normais a
(ou seja,
).
– Duas: e
.
– Teoria: para ,
.
Para fixo:
– Duas:
– Teoria: para
Para
Logo:
-
. -
.
Somando as duas:
$$A_\phi=\frac{\sqrt3,\pi}{8}+\frac{\pi}{4}
=\frac{\pi}{8}\bigl(\sqrt3+2\bigr).$$
Passo 5
Volume do pedaço esférico.
– Teoria: .
Então
– Teoria:
Então
-
. -
(já fizemos). -
.
Logo
Resposta
(a) Áreas:
- Superfícies normais a
: . - Superfícies normais a
: . - Superfícies normais a
: .
(b) Volume:
.