As superfícies que delimitam um volume são definidas por r=0 e r=1, theta=0^circ e theta=90^circ, phi =60^circ e phi=90^circ. Determine, por integração: (a) as áreas determinadas pelas superfícies em questão normais às direções dos vetores unitários ar, atheta e aphi ;(b) o volume determinado pelas superfícies em questão.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um “pedaço” de esfera em coordenadas esféricas delimitado por
  • 0<= r<=1,
  • 0<=theta<=90^circ;(=pi/2),
  • 60^circ<=phi<=90^circ;(=pi/3 até pi/2)é.
Conteúdo: geometria em coordenadas esféricas.
O que precisamos:
  1. Para cada par de superfícies constantes (r, θ ou φ) calcular a área usando o elemento de área adequado.
  2. Calcular o volume usando dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.

Passo 2

Área das superfícies normais a ar (ou seja, r=const).
– A única que importa é r=1 (em r=0 a “área” vira zero).
– Teoria: para r=const, dS=r^2sinphi,dphi,dtheta.
Então
$$A_r=\int_{\theta=0}{\pi/2}\int_{\phi=\pi/3}{\pi/2}1^2\sin\phi,d\phi,d\theta
=\Bigl(\int_0{\pi/2}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{\pi/3}{\pi/2}\sin\phi,d\phi\Bigr). Ar=integraltheta=0^pi/2integralphi=pi/3^pi/21^2sinphi,dphi,dtheta =l(integral0^pi/2dthetar)l(integralpi/3^pi/2sinphi,dphir)A_r=\frac{\pi}{2}\cdot\frac12=\frac{\pi}{4}.$$

Passo 3

Área das superfícies normais a atheta (ou seja, theta=const).
– Temos duas: theta=0 e theta=pi/2.
– Teoria: para theta=const, dS=r,dr,dphi.
Cada uma tem
Atheta^rm cada=integralr=0^1integralphi=pi/3^pi/2r,dphi,dr =l(integral0^1r,drr)l(integralpi/3^pi/2dphir) =12cdotl(pi2-pi3r) =12cdotpi6 =pi12
Como são duas superfícies,
Atheta=2cdotpi12=pi6

Passo 4

Área das superfícies normais a aphi (ou seja, phi=const).
– Duas: phi=pi/3 e phi=pi/2.
– Teoria: para phi=const, dS=rsinphi,dr,dtheta.
Para phi=alpha fixo:
Aphi(alpha) =integralr=0^1integraltheta=0^pi/2rsinalpha,dtheta,dr =sinalphal(integral0^1r,drr)l(integral0^pi/2dthetar) =sinalphacdot12cdotpi2 =pi4sinalpha
Logo:
  • alpha=pi/3Rightarrow Aphi(pi/3)=pi4cdotraiz32=raiz3,pi8.
  • alpha=pi/2Rightarrow Aphi(pi/2)=pi4cdot1=pi4.
    Somando as duas:
$$A_\phi=\frac{\sqrt3,\pi}{8}+\frac{\pi}{4}
=\frac{\pi}{8}\bigl(\sqrt3+2\bigr).$$

Passo 5

Volume do pedaço esférico.
– Teoria: dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.
Então
V=integral0^pi/2!!integralpi/3^pi/2!!integral0^1r^2sinphi,dr,dphi,dtheta =l(integral0^1r^2drr) l(integralpi/3^pi/2sinphi,dphir) l(integral0^pi/2dthetar)
  • integral0^1r^2dr=tfrac13.
  • integralpi/3^pi/2sinphi,dphi=tfrac12 (já fizemos).
  • integral0^pi/2dtheta=tfracpi2.
    Logo
V=13cdot12cdotpi2=pi12

Resposta

(a) Áreas:
  • Superfícies normais a ar: Ar=dfracpi4.
  • Superfícies normais a atheta: Atheta=dfracpi6.
  • Superfícies normais a aphi: Aphi=dfracpi8,(raiz3+2).
(b) Volume: V=dfracpi12,.

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