Expresse o campo vetorial W=(x^2-y^2) ay+x z az em: (a) coordenadas cilíndricas no ponto P(rho=6, phi=60^circ, z=-4); (b) em coordenadas esféricas no ponto Q(r=4, theta=30^circ, phi=120^circ).

Passo 1

Tranquilo, o enunciado diz que a gente tem o campo vetorial
W ;=;(x^2 - y^2),vec ay ;+; x,z,vec az
e precisa:
(a) expressar esse mesmo vetor em coordenadas cilíndricas no ponto
P:;(rho=6,;phi=60^circ,;z=-4),
(b) em coordenadas esféricas no ponto
Q:;(r=4,;theta=30^circ,;phi=120^circ)
O conteúdo aqui é transformação de bases (cartesiano → cilíndrico e cartesiano → esférico) e avaliação num ponto. Vamos precisar das relações entre e e também entre e , além de como mudar as direções para e para .

Passo 2

Primeiro, cilíndricas. A gente sabe que
vec arho = cosphi,vec ax + sinphi,vec ay, vec aphi = -sinphi,vec ax + cosphi,vec ay, vec az = vec az
Então, expressar vec ay = sinphi,vec arho + cosphi,vec aphi em função de vec W = (x^2 - y^2),vec ay ;+; xz,vec az = (x^2 - y^2)l(sinphi,vec arho + cosphi,vec aphir) + xz,vec az :
x^2 - y^2 = rho^2(cos^2phi - sin^2phi) = rho^2cos2phi, xz = (rhocosphi),z
Logo
vec W = underbracerho^2cos2phi,sinphiWrho,vec arho + underbracerho^2cos2phi,cosphiWphi,vec aphi + underbracerhocosphi,zWz,vec az
Em cilíndricas temos , , .
Então
Desse modo

Passo 3

Agora plugamos Wrho = 6^2!cdot(-tfrac12)!cdot(tfracraiz32) = 36cdotl(-tfracraiz34r) = -9raiz3, .
Wphi = 36cdot(-tfrac12)cdot(tfrac12) = 36cdot(-tfrac14) = -9,
Wz = (6cdottfrac12)cdot(-4) = 3cdot(-4) = -12
boxed vec W(P) = -9raiz3,vec arho ;-; 9,vec aphi ;-; 12,vec az
Então
Ou seja, em cilíndricas no ponto :

Passo 4

Agora, esféricas. As direções são
vec ar = sinthetacosphi,vec ax + sinthetasinphi,vec ay + costheta,vec az,
vec atheta = costhetacosphi,vec ax + costhetasinphi,vec ay - sintheta,vec az,
vec aphi = -sinphi,vec ax + cosphi,vec ay
Invertendo para vec ay = sinphi,sintheta,vec ar + sinphi,costheta,vec atheta + cosphi,vec aphi, e vec az = costheta,vec ar - sintheta,vec atheta :
vec W = A,vec ay + B,vec az = l(Asinphisintheta + Bcosthetar)vec ar + l(Asinphicostheta - Bsinthetar)vec atheta + l(Acosphir)vec aphi
Chamando e , temos

Passo 5

Em x = rsinthetacosphi = 4cdottfrac12cdot(-tfrac12) = -1, y = 4cdottfrac12cdottfracraiz32 = raiz3, z = 4cdottfracraiz32 = 2raiz3 primeiro achamos A = x^2 - y^2 = 1 - 3 = -2, B = xz = -1cdot2raiz3 = -2raiz3 :
Wr = Asinphisintheta + Bcostheta = -2!cdot!tfracraiz32!cdot!tfrac12 ;+;(-2raiz3)!cdot!tfracraiz32 = -tfracraiz32 - 3 = -6 + raiz32,
Logo
Wtheta = Asinphicostheta - Bsintheta = -2!cdot!tfracraiz32!cdot!tfracraiz32 ;-;(-2raiz3)!cdot!tfrac12 = -tfrac32 + raiz3 = -3 + 2raiz32,
E ainda
Wphi = Acosphi = -2cdotl(-tfrac12r) = 1
Substituindo tudo:

Resposta

(a) Em cilíndricas no ponto boxedvec W(P) = -9raiz3,vec arho ;-; 9,vec aphi ;-; 12,vec az :
boxedvec W(Q) = -6 + raiz32,vec ar ;+;-3 + 2raiz32,vec atheta ;+;1;vec aphi
(b) Em esféricas no ponto :

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