Ache as distâncias entre os pontos e as retas dadas:
Origem a 3 x-2 y+6=0.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a distância entre a origem e a reta dada.
Informações fornecidas:
  • A origem é o ponto (0,0).
  • A reta é dada por \;3x-2y+6=0.
  • Objetivo: encontrar a distância do ponto (0,0) até a reta \;3x-2y+6=0.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (sem pânico — é simples e muito útil):
d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}},
onde:
  • (x_0,y_0) é o ponto do qual se quer a distância (aqui a origem (0,0));
  • Ax+By+C=0 é a equação da reta; A, B e C são os coeficientes dessa equação;
  • \left|\cdot\right| é o valor absoluto (distância não pode ser negativa);
  • \sqrt{A^2+B^2} é o comprimento do vetor normal à reta.
Explicação rápida do porquê (intuição): o vetor normal à reta é (A,B). A quantidade Ax_0+By_0+C é, até um fator, a projeção do vetor que leva um ponto da reta até (x_0,y_0) sobre esse normal. Dividindo pela norma do normal obtemos a distância perpendicular (menor distância) do ponto até a reta.

Passo 3

Identificar A, B, C e o ponto:
  • Da equação \;3x-2y+6=0 temos A=3, B=-2, C=6.
  • O ponto é (x_0,y_0)=(0,0) (a origem).

Passo 4

Aplicando a fórmula:
Calcular o numerador:
\left|Ax_0+By_0+C\right|=\left|3\cdot0+(-2)\cdot0+6\right|=\left|6\right|=6.
Calcular o denominador:
\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Portanto obtemos a expressão
\frac{6}{\sqrt{13}}.

Passo 5

Forma equivalente (racionalizando o denominador), se preferir:
\frac{6}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}.
Uma aproximação numérica útil para conferir na prova:
\frac{6}{\sqrt{13}}\approx 1,664\quad(\text{aprox.}).
Vai dar certo — respira: é só aplicar a fórmula, substituir e simplificar!

Resposta

\dfrac{6}{\sqrt{13}} = \dfrac{6\sqrt{13}}{13} \approx 1,664

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