Considere o ângulo entre duas retas r e s como o menor ângulo entre os possíveis vetores diretores.
(a) Prove que o ângulo é determinado entre \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
(b) Ache o ângulo entre as retas 3 x-4 y+2=0 e 2 x+3 y=7
(c) Determine o ângulo entre o eixo x e 5 x+12=3 ?
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos fornece duas equações de retas. Vou listar tudo claramente:
Definição usada: o ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre quaisquer vetores diretores dessas retas (ou seja, entre dois vetores que apontam ao longo das retas).
Perguntas:
(a) Mostrar que esse ângulo está em \left[0,\frac{\pi}{2}\right].
(b) Calcular o ângulo entre as retas 3x-4y+2=0 e 2x+3y=7.
(c) Determinar o ângulo entre o eixo x e a reta 5x+12=3.
Informações relevantes dadas:
As equações das retas para (b) e (c) estão explicitadas acima.
A definição do ângulo como o menor ângulo entre vetores diretores será usada para obter um valor entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
Passo 2
Entender como pegar um vetor diretor de uma reta escrita na forma ax+by+c=0.
Uma reta escrita como ax+by+c=0 tem vetor normal \mathbf{n}=(a,b).
Um vetor diretor \mathbf{d} deve ser ortogonal a \mathbf{n}, isto é, \mathbf{n}\cdot\mathbf{d}=0.
Uma escolha prática (sempre válida) é\mathbf{d}=(b,-a),porque\mathbf{n}\cdot\mathbf{d}=a\cdot b + b\cdot(-a)=ab-ab=0.
Exemplificando: para 2x+3y=7 tem-se \mathbf{n}=(2,3) e um vetor diretor \mathbf{d}=(3,-2).
Explicação didática curta sobre o que é o ângulo entre dois vetores:
Dado \mathbf{u} e \mathbf{v}, o cosseno do ângulo \theta entre eles é\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|},onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar e \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{u}.
A função \operatorname{arccos} fornece \theta\in[0,\pi]. Para obter o menor ângulo entre retas (definição do enunciado), tomamos o menor entre \theta e \pi-\theta — isto será usado no passo seguinte.
Passo 3
Prova do item (a): por que o ângulo (menor entre vetores diretores) está em \left[0,\frac{\pi}{2}\right].
Seja \mathbf{u} e \mathbf{v} vetores diretores das duas retas. O ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} obtido por \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\big) satisfaz \theta\in[0,\pi].
Mas a definição do problema exige o menor dos dois ângulos formados pelos vetores (pois dois vetores em R^2 formam dois ângulos suplementares \theta e \pi-\theta). O menor desses dois é\varphi=\min\{\theta,\pi-\theta\}.
Observe que se \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] então \theta é o menor; se \theta\in[\tfrac{\pi}{2},\pi] então \pi-\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] é o menor. Logo \varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Outra forma prática (frequentemente usada) que garante imediatamente o intervalo é usar valor absoluto no cosseno:\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\right),já que \frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\in[0,1] e \operatorname{arccos} desse valor dá um ângulo em [0,\tfrac{\pi}{2}].
Casos limites (para intuir): \varphi=0 quando as retas são paralelas (vetores diretores colineares, produto escalar máximo em módulo); \varphi=\tfrac{\pi}{2} quando são perpendiculares (produto escalar zero).
Passo 4
Resolver o item (b): extrair vetores diretores das retas e aplicar a fórmula.
Para a reta 3x-4y+2=0: o vetor normal é \mathbf{n}_1=(3,-4). Um vetor diretor (escolha conveniente) é\mathbf{d}_1=(4,3),pois 3\cdot4+(-4)\cdot3=12-12=0.
Para a reta 2x+3y=7: o vetor normal é \mathbf{n}_2=(2,3). Um vetor diretor é\mathbf{d}_2=(3,-2).(Relembrando: os vetores diretores podem mudar de sinal; isso não altera o ângulo.)
Calcular produto escalar e normas passo a passo:\mathbf{d}_1\cdot\mathbf{d}_2=4\cdot3 + 3\cdot(-2)=12-6=6.
Aplicando a fórmula do menor ângulo (usar módulo do produto escalar para garantir [0,\tfrac{\pi}{2}]):\cos\varphi=\frac{|\mathbf{d}_1\cdot\mathbf{d}_2|}{\|\mathbf{d}_1\|\|\mathbf{d}_2\|}=\frac{6}{5\sqrt{13}}.
Portanto o ângulo pedido é\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{6}{5\sqrt{13}}\right).Se quiser uma aproximação em graus:\varphi\approx 70{,}53^\circ(ou em radianos \varphi\approx 1{,}231\\ \text{rad}).
Observação rápida (método alternativo que costuma aparecer em provas): usando declives m_1 e m_2 das retas, pode-se calcular
\tan\varphi=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|
e obter o mesmo resultado; aqui m_1=\tfrac{3}{4} e m_2=-\tfrac{2}{3}, que leva ao mesmo ângulo.
Passo 5
Resolver o item (c): entender a reta 5x+12=3.
Primeiro manipular a equação: 5x+12=3\Rightarrow 5x=-9\Rightarrow x=-\tfrac{9}{5}.
Isso é uma reta vertical (reta do tipo x= constante). Uma reta vertical tem vetor diretor paralelo ao eixo y, por exemplo\mathbf{d}_{\text{vertical}}=(0,1).
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, então o ângulo entre a reta vertical x=-\tfrac{9}{5} e o eixo x é\varphi=\frac{\pi}{2}.
Interpretação curta e encorajamento: deu pra ver que a equação 5x+12=3 simplifica direto para uma reta vertical; nada de mistério. Vai ficar tranquilo!