Sejam \vec{v}_{1}=(1,1,1), \vec{v}_{2}=(0,1,1) e \vec{v}_{3}=(1,1,0) vetores do \mathbb{R}^{3}.
a) Mostre que \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é uma base do \mathbb{R}^{3}.
b) Determine uma base ortonormal para \mathbb{R}^{3} a partir de \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}
Passo 1
O enunciado dá três vetores de \mathbb{R}^{3}: \vec{v}_{1}=(1,1,1), \vec{v}_{2}=(0,1,1) e \vec{v}_{3}=(1,1,0).
As perguntas são:
(a) Mostrar que \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) A partir de \beta, determinar uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
O que significa ser uma base de \mathbb{R}^{3}? Significa que os vetores são linearmente independentes e geram todo \mathbb{R}^{3}. Um teste simples e direto em \mathbb{R}^{3} é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, por serem três vetores em \mathbb{R}^{3}, formam uma base.
Montando a matriz A com as colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3:
Como \det(A)=-1\neq0, concluímos que as colunas são linearmente independentes e, portanto, \beta é uma base de \mathbb{R}^{3}. (Resposta do item (a) obtida.)
Agora vamos à parte (b): construir uma base ortonormal a partir de \beta. O processo padrão é o processo de Gram–Schmidt, que transforma um conjunto de vetores linearmente independentes \{v_1,v_2,v_3\} em um conjunto ortonormal \{e_1,e_2,e_3\}. As fórmulas principais são:
Norma (comprimento) de um vetor u: \|u\|=\sqrt{u\cdot u}, onde u\cdot u é o produto escalar padrão.
Produto escalar de u=(u_1,u_2,u_3) e w=(w_1,w_2,w_3): u\cdot w=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.
Projeção ortogonal de v sobre um vetor unitário e: \operatorname{proj}_{e}(v)=(v\cdot e)\,e.
Gram–Schmidt (passos):
Podemos verificar mentalmente (ou com produto escalar) que e_i\cdot e_j=0 para i\neq j e \|e_i\|=1 para cada i, ou seja, são ortonormais.
Resposta
(a) \beta é uma base de \mathbb{R}^{3}, pois \det\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&0\end{pmatrix}=-1\neq0.\n
(b) Uma base ortonormal obtida por Gram–Schmidt é\n \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\quad \frac{1}{\sqrt{6}}(-2,1,1),\quad \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).