Ache a distância entre os planos:
\Pi_{3}: 4 x-2 y+6 z+8=0 e \Pi_{2}: 6 x-4 y+12 z+12=0.

Passo 1

O enunciado fornece duas equações de planos e pede a distância entre eles.
Informações dadas:
  • Plano \Pi_{3}: 4x - 2y + 6z + 8 = 0
  • Plano \Pi_{2}: 6x - 4y + 12z + 12 = 0
O que o enunciado pede:
  • Calcular a distância entre \Pi_{3} e \Pi_{2}.

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): a distância entre dois planos é
  • igual a 0 se os planos se intersectam (porque então existe ponto comum, logo a menor distância entre eles é zero);
  • diferente de 0 somente se os planos forem paralelos e distintos; nesse caso usa-se a fórmula que envolve o vetor normal comum.
Então o primeiro passo prático é verificar se os planos são paralelos ou se se intersectam. Para isso usamos os vetores normais.

Passo 3

O vetor normal de um plano escrito como ax+by+cz+d=0 é (a,b,c).
Para os planos dados:
  • Normal de \Pi_{3}: \mathbf{n}_3 = (4,\,-2,\;6).
  • Normal de \Pi_{2}: \mathbf{n}_2 = (6,\,-4,\;12).

Passo 4

Do método para testar paralelismo: dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são múltiplos escalares um do outro (isto é, se existe k tal que \mathbf{n}_2 = k\,\mathbf{n}_3).
Verificando as razões componente a componente:
\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5,\qquad \frac{-4}{-2}=2,\qquad \frac{12}{6}=2.
Como essas razões não são todas iguais (a razão para a componente x é 1{,}5, enquanto para y e z é 2), não existe k que iguale todas as componentes. Logo \mathbf{n}_2 não é múltiplo escalar de \mathbf{n}_3.
Portanto os planos NÃO são paralelos.

Passo 5

Se os planos não são paralelos, eles se intersectam ao longo de uma reta (ou são coincidentes). Nesse caso a menor distância entre eles é 0. Para ter certeza prática, podemos mostrar explicitamente que existe pelo menos um ponto que satisfaz ambas as equações, isto é, um ponto em comum.
Vamos resolver as duas equações simultaneamente para encontrar um ponto comum (basta encontrar uma solução qualquer).
Sistema:
\begin{cases} 4x - 2y + 6z = -8,\\[4pt] 6x - 4y +12z = -12. \end{cases}]

Passo 6

Eliminação simples: subtrai-se \tfrac{3}{2} vezes a primeira equação da segunda (escolha estratégica para cancelar a componente x).
Calcule:
\text{Segunda} - \tfrac{3}{2}\times\text{Primeira}:
na componente x: 6 - \tfrac{3}{2}\cdot 4 = 6 - 6 = 0,
na componente y: -4 - \tfrac{3}{2}\cdot(-2) = -4 + 3 = -1,
na componente z: 12 - \tfrac{3}{2}\cdot 6 = 12 - 9 = 3,
no lado direito: -12 - \tfrac{3}{2}\cdot(-8) = -12 + 12 = 0.
Então obtemos a equação
- y + 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 3z.

Passo 7

Substituindo y = 3z na primeira equação:
4x - 2(3z) + 6z = -8 \quad\Rightarrow\quad 4x -6z +6z = -8 \quad\Rightarrow\quad 4x = -8.
Logo
x = -2.
Escolhendo z = 0 (livre, já que a interseção é uma reta), obtemos y = 3\cdot 0 = 0. Assim um ponto em comum é
(-2,\;0,\;0).

Passo 8

Verificação rápida: substituir (-2,0,0) nas equações originais:
4(-2)-2\cdot 0 +6\cdot 0 +8 = -8 + 8 = 0,
6(-2)-4\cdot 0 +12\cdot 0 +12 = -12 + 12 = 0.
Portanto o ponto realmente pertence a ambos os planos.

Passo 9

Conclusão: como existe ponto comum entre \Pi_{3} e \Pi_{2}, os planos se intersectam e, por isso, a distância entre eles é
\boxed{0}.

Resposta

0

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