Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada.
Passo 1
O enunciado pede domínio e imagem de uma função definida por partes:
– ramo 1: para
– ramo 2: para
Conteúdo: definição de domínio, imagem, estudo de funções quadrática (vértice, crescimento) e linear.
– ramo 1:
– ramo 2:
Conteúdo: definição de domínio, imagem, estudo de funções quadrática (vértice, crescimento) e linear.
Passo 2
Para o domínio basta ver onde cada expressão está bem definida. Tanto
quanto
valem para qualquer número real. E as condições
e
cobrem todo
. Logo o domínio é
.
Passo 3
No ramo quadrático
temos uma parábola
cujo vértice é em
dando
, e
quando
. Para ver se falta algum valor, igualamos
e notamos que para
há solução em
. Como
(que é ❤️) dá
, o ramo produz todos os
.
Passo 4
No ramo linear
temos
, que cresce sem limite. Em
vale
e para
temos
. Logo este ramo produz todas as
, que já estão incluídas em
.
Passo 5
Unindo as duas partes, a imagem total é o conjunto de todos os valores
que saem de
, ou seja,
.
Resposta
Domínio: (-infty,\infty). Imagem: [-4,\infty).