Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada.
y= x^2-4, & se x<3 2 x-1, & se x >= 3

Passo 1

O enunciado pede domínio e imagem de uma função definida por partes:
– ramo 1: f(x)=x^2-4 para x<3
– ramo 2: f(x)=2x-1 para x>=3
Conteúdo: definição de domínio, imagem, estudo de funções quadrática (vértice, crescimento) e linear.

Passo 2

Para o domínio basta ver onde cada expressão está bem definida. Tanto x^2-4 quanto 2x-1 valem para qualquer número real. E as condições x<3 e x>=3 cobrem todo R. Logo o domínio é .

Passo 3

No ramo quadrático x<3 temos uma parábola f(x)=x^2-4 cujo vértice é em x=0 dando f(0)=-4, e f(x)to+infty quando xtopminfty. Para ver se falta algum valor, igualamos x^2-4=y e notamos que para y>=-4 há solução em x. Como x=-3 (que é ❤️) dá f(-3)=5, o ramo produz todos os y>=-4.

Passo 4

No ramo linear x>=3 temos f(x)=2x-1, que cresce sem limite. Em x=3 vale f(3)=5 e para xto+infty temos f(x)to+infty. Logo este ramo produz todas as y>=5, que já estão incluídas em [ -4,infty).

Passo 5

Unindo as duas partes, a imagem total é o conjunto de todos os valores y que saem de f(x), ou seja, [ -4,infty).

Resposta

Domínio: (-infty,\infty). Imagem: [-4,\infty).

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