Considere a série
,
para todo
. Suponha que exista positivo,
, tal que, para todo
,
Prove que a série é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a série de termos positivos
converge, sabendo que existe um
tal que
para todo
. Vamos usar comparação com série geométrica e indução.
Passo 2
Pela hipótese
temos
. Suponha, por indução, que
. Então
ao que completa o passo indutivo e mostra que, para todo
,
Passo 3
Agora, usando comparação de séries: como
e
, segue que
Logo, por comparação, a série
converge.
Resposta
A série
converge por comparação com a série geométrica de razão
.