Considere a série sumk=1^+infty an, com an>0 para todo n >= 1. Suponha que exista positivo, com t<1, tal que, para todo n >= 1,
an+1an
Prove que a série é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a série de termos positivos sumn=1^inftyan converge, sabendo que existe um t<1 tal que an+1/an < t para todo n. Vamos usar comparação com série geométrica e indução.

Passo 2

Pela hipótese an+1/an < t temos a2 < a1 t. Suponha, por indução, que ak < a1 t^k-1. Então
ak+1 = ak cdot ak+1ak < a1 t^k-1 cdot t = a1 t^k,
ao que completa o passo indutivo e mostra que, para todo n,
an < a1 t^n-1

Passo 3

Agora, usando comparação de séries: como an < a1 t^n-1 e sumn=1^inftya1 t^n-1=a1sumn=0^inftyt^n=a1/(1-t), segue que
sumn=1^inftyan <= sumn=1^inftya1 t^n-1=a11-t
Logo, por comparação, a série sum an converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyan converge por comparação com a série geométrica de razão t<1.

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