Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
f(x, y)=ln x+2 y;

Passo 1

A função dada é f(x,y)=ln x+2y. Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem ( fx e fy) e depois as de segunda ordem ( fxx, fxy, fyy). Para isso usaremos a definição de derivada parcial, tratando uma variável de cada vez como independente e mantendo a outra constante.

Passo 2

Para calcular fx e fy, lembramos que a derivada parcial de f em relação a x é obtida derivando-se em x mantendo y fixo, e vice-versa para y.
Derivando ln x em relação a x obtemos 1x, e como 2y é constante em relação a x, sua derivada é 0. Logo
$$f_x(x,y)=\frac{1}{x}.
$$

Passo 3

Derivando 2y em relação a y obtemos 2, e como ln x é constante em relação a y, sua derivada é 0. Logo
$$f_y(x,y)=2.
$$

Passo 4

Para as derivadas de segunda ordem, derivamos cada derivada de primeira ordem em relação a x e y. Derivando fx=1x em relação a x fxx=-1x^2; em relação a y fxy=0. Derivando fy=2 em relação a y fyy=0, e em relação a x fyx=0. Note que fxy=fyx=0.

Resposta

As derivadas são: fx=1x, fy=2, fxx=-1x^2, fxy=0, fyy=0.

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