Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
;
Passo 1
A função dada é
. Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem (
e
) e depois as de segunda ordem (
,
,
). Para isso usaremos a definição de derivada parcial, tratando uma variável de cada vez como independente e mantendo a outra constante.
Passo 2
Para calcular
e
, lembramos que a derivada parcial de
em relação a
é obtida derivando-se em
mantendo
fixo, e vice-versa para
.
Derivando em relação a
obtemos
, e como
é constante em relação a
, sua derivada é 0. Logo
Derivando
$$f_x(x,y)=\frac{1}{x}.
$$
Passo 3
Derivando
em relação a
obtemos 2, e como
é constante em relação a
, sua derivada é 0. Logo
$$f_y(x,y)=2.
$$
Passo 4
Para as derivadas de segunda ordem, derivamos cada derivada de primeira ordem em relação a
e
. Derivando
em relação a
dá
; em relação a
dá
. Derivando
em relação a
dá
, e em relação a
dá
. Note que
.
Resposta
As derivadas são:
,
,
,
,
.