Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
f(x, y, z)=x-3 yz;

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y,z)=x-3yz, e o objetivo é encontrar todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Para isso vamos usar regras básicas de derivação: derivada de quociente (ou tratar z^-1) e propriedades da derivada em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, escrevemos f como f(x,y,z)=(x-3y)z^-1 e derivamos em relação a cada variável:
Derivada em relação a x:
fx = partialpartial xl((x-3y)z^-1r) = z^-1 = 1z
Derivada em relação a y:
fy = partialpartial yl((x-3y)z^-1r) = -3,z^-1 = -3z
Derivada em relação a z:
fz = partialpartial zl((x-3y)z^-1r) = (x-3y)cdot(-1)z^-2 = -x-3yz^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem a partir de fx:
fx=1/z não depende de x nem de y, mas depende de z. Logo:
fxx = partialpartial xl(tfrac1zr) = 0,
fxy = partialpartial yl(tfrac1zr) = 0,
fxz = partialpartial zl(tfrac1zr) = -1z^2

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem a partir de fy:
fy=-3/z não varia com x nem y, só com z. Então:
fyx = partialpartial xl(-tfrac3zr) = 0,
fyy = partialpartial yl(-tfrac3zr) = 0,
fyz = partialpartial zl(-tfrac3zr) = 3,1z^2 = 3z^2

Passo 5

Finalmente, derivadas de segunda ordem a partir de fz:
fz=-,(x-3y)z^-2. Como x-3y não depende de z e não depende de x ou y para as mistas, temos:
fzx = partialpartial xl(-,(x-3y)z^-2r) = -1cdot z^-2 = -1z^2,
fzy = partialpartial yl(-,(x-3y)z^-2r) = -(-3),z^-2 = 3z^2,
fzz = partialpartial zl(-,(x-3y)z^-2r) = -(x-3y)cdot(-2)z^-3 = 2(x-3y)z^3

Resposta

As derivadas parciais são:
fx=tfrac1z, fy=-tfrac3z, fz=-tfracx-3yz^2;
fxx=0, fxy=0, fxz=-tfrac1z^2;
fyy=0, fyz=tfrac3z^2;
fzz=tfrac2(x-3y)z^3.

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