Ache o domínio das seguintes funções:
a) f(x)=(12)^tg(x)
b) f(x)=raizln (x)
c) f(x)=sen(1x^2)
d) f(x)=sen(x)x^2
e) f(x)=tg(1x)
f) f(x)=arcsen(x^2)
g) f(x)=arccos (3 xx+1)
h) f(x)=arctg(x^2+2)
i) f(x)=raiz[3]arcsen(x)
j) f(x)=raiz[3]arcsen(x)

Passo 1

O exercício pede para determinar o domínio de várias funções elementares, envolvendo trigonometria, logaritmos, raízes e funções inversas. Vamos usar propriedades de cada uma: onde estão definidas (por exemplo, log só para positivo, raiz para valor não negativo, tan só fora de seus pontos de singularidade, arcsen para argumento em [-1,1] etc.).

Passo 2

Para f(x)=, a base (1/2)^tg(x) e diferente de 1 não impõe restrição, mas só está definida para 1/2>0, tg(x). Portanto o domínio é x neq pi/2 + kpi.

Passo 3

Para f(x)= raizln(x), primeiro ln(x) exige x>0, depois a raiz quadrada exige ln(x)>=0, ou seja x>=1. O domínio é [1,infty).

Passo 4

Para f(x)= sin(1/x^2), sin(cdot) aceita todo real, mas 1/x^2 exige xneq0. O domínio é Rsetminus0.

Passo 5

Para f(x)= sin(x)/x^2, o denominador x^2 não pode ser zero, então xneq0. O domínio é Rsetminus0.

Passo 6

Para f(x)=, tg(1/x) deve existir (ou seja 1/x) e não pode coincidir com pontos em que não existe: xneq0. Logo o domínio é tg.

Passo 7

Para f(x)=, o exige argumento em arcsen(x^2). Como arcsen, basta [-1,1], ou seja x^2>=0. O domínio é x^2<=1.

Passo 8

Para f(x)= arccosl(3x/(x+1)r), precisamos de duas coisas: x+1neq0 e -1<=3x/(x+1)<=1. Resolvendo a desigualdade em dois ramos ( x>-1 e x<-1), chega-se a -1/4<= x<=1/2. Como x=-1 já fica fora desse intervalo, não precisamos excluí-lo de novo. Assim o domínio é [-1/4,1/2].

Passo 9

Para f(x)=, aceita todo real e arctg(x^2+2) é sempre real. Então o domínio é arctg.

Passo 10

Para f(x)=, o exige raiz[3]arcsen(x). A raiz cúbica aceita qualquer real. Logo o domínio é arcsen(x).

Passo 11

O item j) é idêntico ao i), então o domínio também é [-1,1].

Resposta

a) x \neq \pi/2 + k\pi, k\in\mathbb{Z}
b) [1,\infty)
c) \mathbb{R}\setminus{0}
d) \mathbb{R}\setminus{0}
e) {x\neq0:1/x\neq\pi/2+k\pi, k\in\mathbb{Z}}
f) [-1,1]
g) [-1/4,1/2]
h) \mathbb{R}
i) [-1,1]
j) [-1,1]

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