Determine uma região no plano x y para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto (x0, y0) na região.
d yd x=y^23;

Passo 1

Queremos achar uma região no plano \(x,y)\ em que a equação \frac{dy}{dx}=y^{2/3}\ tenha solução passando por \left(x_0,y_0\right)\, usando o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf.

Passo 2

A função do lado direito é \displaystyle f(x,y)=y^{2/3}\. Observamos que f é contínua em todo \mathbb{R}^2\ (já que $y^{2/3)\ está bem definida e continua para todo y$. Pelo teorema, existe solução local em torno de qualquer ponto \(x_0,y_0)\.

Passo 3

Para garantir unicidade, precisamos que \partial f/\partial y\ seja contínua na região. Calculamos
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=(2/3)y^{-1/3}.
$$
Esse termo é descontínuo (infinito) em \;y=0\. Portanto, devemos evitar o eixo \y=0\ para ter unicidade.

Passo 4

Se \;y_0\neq 0\, então escolhemos um pequeno retângulo centrado em \(x_0,y_0)\ que não cruza \y=0\. Por exemplo, seja \delta\ tal que \delta<|y_0|\ e considere
$$
R=\{(x,y):|x-x_0|<a,\quad |y-y_0|<\delta\}.
$$
Nesse retângulo, y mantém o mesmo sinal de \;y_0\ e \partial f/\partial y\ é contínua.

Passo 5

Conclusão: em qualquer ponto com \;y_0\neq 0\ podemos garantir existência e unicidade da solução dentro de um retângulo que não atinja \y=0\.

Resposta

Uma região conveniente é
$$
R=\{(x,y):|x-x_0|<a,;|y-y_0|<\delta\},
$$
où \delta<|y_0|\ e \;a>0\. Assim R fica inteiramente no semiplano \;y>0\ (se \;y_0>0\) ou \;y<0\ (se \;y_0<0\), garantindo f e ∂f/∂y contínuas e, portanto, existência e unicidade de solução passando por \(x_0,y_0).

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