Resolva a equação diferencial com a função impulso:
y^prime prime(t)+3 y^prime(t)+2 y(t)=de
com as condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea com força de excitação na forma de impulso de, ou seja, y''(t)+3y'(t)+2y(t)=de, com y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares e transformada de Laplace, que vamos usar para tratar o impulso e as condições iniciais.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando por Y(s)=Ly(t), temos as transformadas de derivadas:
Ly'(t)=sY(s)-y(0),Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)

Passo 3

Substituindo na EDO e usando y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos:
s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=Lde

Passo 4

Lembrando que Lde, a equação em s fica:
(s^2+3s+2)Y(s)=e^-s

Passo 5

Isolando Y(s), temos:
Y(s)=e^-s(s+1)(s+2)

Passo 6

Para inverter, fazemos frações parciais em 1(s+1)(s+2):
1(s+1)(s+2)=1s+1-1s+2

Passo 7

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Y(s)=e^-sl(1s+1-1s+2r)

Passo 8

Sem o termo de deslocamento e^-s, a transformada inversa seria e^-t-e^-2t. Pelo teorema do deslocamento, a multiplicação por e^-s no domínio s gera um fator u(t-1) e substitui t por t-1. Portanto, a solução no tempo é
y(t)=u(t-1)l(e^-(t-1)-e^-2(t-1)r), onde u(t-1) é a função degrau de Heaviside que garante que a resposta só comece em t=1.

Resposta

y(t)=u(t-1)\bigl(e{-(t-1)}-e{-2(t-1)}\bigr)

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