Resolva a equação diferencial com a função impulso:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea com força de excitação na forma de impulso
, ou seja,
, com
e
. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares e transformada de Laplace, que vamos usar para tratar o impulso e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando por
, temos as transformadas de derivadas:
Passo 3
Substituindo na EDO e usando
e
, obtemos:
Passo 4
Lembrando que
, a equação em
fica:
Passo 5
Isolando
, temos:
Passo 6
Para inverter, fazemos frações parciais em
:
Passo 7
Logo
Passo 8
Sem o termo de deslocamento
, a transformada inversa seria
. Pelo teorema do deslocamento, a multiplicação por
no domínio
gera um fator
e substitui
por
. Portanto, a solução no tempo é
Resposta
y(t)=u(t-1)\bigl(e{-(t-1)}-e{-2(t-1)}\bigr)