Utilize a transformada de Laplace para resolver:
y^prime prime(t)+3 y^prime(t)+2 y(t)=de
onde y(0)=0 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com um impulso em t=1, ou seja,
A EDO é
y''(t)+3y'(t)+2y(t)=de
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace e, depois, o teorema do deslocamento.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que:
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
Ly'(t)=sY(s)-y(0),
Ly(t)=Y(s),
e que Lde. Como y(0)=y’(0)=0, temos
s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=e^-s

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)=e^-ss^2+3s+2=e^-s(s+1)(s+2)

Passo 4

Para invertermos a parte F(s)=1/[(s+1)(s+2)], fazemos frações parciais:
1(s+1)(s+2)=1s+1-1s+2
Invertendo cada parcela, obtemos
f(t)=L^-1F(s)=e^-t-e^-2t

Passo 5

Agora aplicamos o teorema do segundo deslocamento: se Y(s)=e^-asF(s), então
y(t)=u(t-a),f(t-a)
Aqui a=1, então
y(t)=u(t-1)l(e^-(t-1)-e^-2(t-1)r)

Resposta

y(t)=u(t-1)\bigl(e{-(t-1)}-e{-2(t-1)}\bigr)

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