Ache o domínio das seguintes funções:
a) f(x)=(12)^tg(x)
b) f(x)=raizln (x)
c) f(x)=sen(1x^2)
d) f(x)=sen(x)x^2
e) f(x)=tg(1x)
f) f(x)=arcsen(x^2)
g) f(x)=arccos (3 xx+1)
h) f(x)=arctg(x^2+2)
i) f(x)=raiz[3]arcsen(x)

Passo 1

A nossa missão é encontrar o domínio de cada função dada, ou seja, todos os valores de x para os quais a expressão faz sentido. Vamos usar conceitos de funções exponenciais, logaritmos, radicais, funções trigonométricas e funções inversas.

Passo 2

Para a função f(x)=l(tfrac12r)^tg(x), a base tfrac12 é positiva e diferente de 1, então o que importa é onde tg(x) está definido. Sabemos que tg(x)=tfracsin(x)cos(x) não existe quando cos(x)=0, isto é, em x=tfracpi2+kpi. Portanto o domínio é todos os reais, exceto esses pontos.

Passo 3

Para f(x)=raizln(x), precisamos que ln(x) exista e seja não-negativo. O logaritmo natural exige x>0, e a raiz quadrada exige ln(x)>=0, ou seja x>=1. Logo o domínio é [1,infty).

Passo 4

Em f(x)=sinl(1/x^2r), o seno existe para todo argumento real. Só precisamos que 1/x^2 faça sentido, ou seja, x^2neq0, logo xneq0. O domínio é Rsetminus0.

Passo 5

Para f(x)=dfracsin(x)x^2, o numerador sin(x) está sempre definido, mas o denominador não pode ser zero. Assim xneq0 e o domínio é Rsetminus0.

Passo 6

Na função f(x)=tg(1/x), primeiro exigimos xneq0 para 1/x definir; depois, tg(y) não existe quando y=tfracpi2+kpi. Logo precisamos que 1/xneqtfracpi2+kpi, ou seja, xneq0 e xneq1/(tfracpi2+kpi).

Passo 7

Para , a função exige f(x)=arcsen(x^2). Aqui arcsen(u) é sempre uin[-1,1], então basta u=x^2, ou seja >=0. O domínio é x^2<=1.

Passo 8

Em f(x)=arccosl(tfrac3xx+1r), precisamos que o argumento 3x/(x+1) exista ( xneq-1) e esteja em [-1,1]. Resolvendo as duplas desigualdades
-1<=3xx+1<=1,
obtém-se, após análise de sinais, que x deve pertencer a [-1/4,1/2], sem incluir -1 mas esse ponto já está fora do intervalo. Portanto o domínio é [-1/4,1/2].

Passo 9

Por fim, para não há restrição no argumento de , pois ela está definida em todo f(x)=arctg(x^2+2). E para a exige arctg, e a raiz cúbica aceita todo real. Então o domínio é R.

Resposta

a) xinRmid xneqtfracpi2+kpi,;kinZ
b) [1,infty)
c) Rsetminus0
d) Rsetminus0
e) xinRmid xneq0,;xneq1/(tfracpi2+kpi),;kinZ
f) [-1,1]
g) [-1/4,1/2]
h) R
i) [-1,1]

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