(valor 3.0) Responder com verdadeiro ou falso (V/F) as afirmativas abaixo:
Se f ê um polinômio em x e y, ent ̉̉o fx y(x, y)=fy x(x, y) para todo (x, y) in R^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se, quando temos um polinômio em e , as derivadas parciais mistas e são iguais para todo ponto no plano. Para resolver isso, vamos lembrar sobre derivadas parciais e uma regra importante chamada Teorema de Schwarz, que nos ajuda a saber quando essas derivadas mistas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Se temos uma função , a derivada parcial é a derivada de em relação a , mantendo constante. Da mesma forma, é a derivada em relação a , mantendo constante.

Passo 3

Agora, as derivadas mistas e são as derivadas das derivadas parciais. Ou seja, é a derivada de em relação a , e é a derivada de em relação a .

Passo 4

O Teorema de Schwarz diz que, se as derivadas parciais mistas e forem contínuas em uma região, então elas são iguais nessa região. Polinômios são funções muito legais porque eles são suaves e têm todas as derivadas contínuas. Isso significa que para qualquer polinômio em e , as derivadas mistas serão iguais.

Passo 5

Como o enunciado fala sobre um polinômio em e e todo ponto no plano real, podemos aplicar o Teorema de Schwarz diretamente. Portanto, as derivadas mistas e são iguais para todo .

Resposta

Verdadeiro (V).

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