(valor 3.0) Responder com verdadeiro ou falso (V/F) as afirmativas abaixo:
Se
ê um polinômio em
e
, ent ̉̉o
para todo
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se, quando temos um polinômio em
e
, as derivadas parciais mistas
e
são iguais para todo ponto
no plano. Para resolver isso, vamos lembrar sobre derivadas parciais e uma regra importante chamada Teorema de Schwarz, que nos ajuda a saber quando essas derivadas mistas são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Se temos uma função
, a derivada parcial
é a derivada de
em relação a
, mantendo
constante. Da mesma forma,
é a derivada em relação a
, mantendo
constante.
Passo 3
Agora, as derivadas mistas
e
são as derivadas das derivadas parciais. Ou seja,
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
O Teorema de Schwarz diz que, se as derivadas parciais mistas
e
forem contínuas em uma região, então elas são iguais nessa região. Polinômios são funções muito legais porque eles são suaves e têm todas as derivadas contínuas. Isso significa que para qualquer polinômio em
e
, as derivadas mistas serão iguais.
Passo 5
Como o enunciado fala sobre um polinômio em
e
e todo ponto
no plano real, podemos aplicar o Teorema de Schwarz diretamente. Portanto, as derivadas mistas
e
são iguais para todo
.
Resposta
Verdadeiro (V).