Determine o limite infinito.
(a) lim x 3^+ x+2x+3
(b) lim x 3^- x+2x+3
© lim x 1 2-x(x-1)^2
(d) lim x 2^+ x^2-2 x-8x^2-5 x+6
(e) lim x 2^- x^2-2 xx^2-4 x+4

Passo 1

O exercício pede para calcular cinco limites (alguns laterais) de funções racionais, identificando quando eles são finitos ou infinitos. O conteúdo é análise de limites, usando substituição direta para continuidade e análise de sinais de numerador e denominador quando aparecem zeros que levam a infinitos.

Passo 2

Para os itens (a) e (b), a função f(x)=x+2x+3 é contínua em x=3 (pois o denominador não zera), então ambos os limites laterais coincidem com f(3). Substituindo: f(3)=3+23+3=56

Passo 3

No item ©, temos limxto12-x(x-1)^2. O numerador tende a 2-1=1>0 e o denominador tende a zero positivo (é quadrado). Como constante não nulazero positivoto+inftyã, o limite é +infty.

Passo 4

No item (d), fatoramos numerador e denominador para analisar sinais:
x^2-2x-8=(x-4)(x+2)
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Passo 5

Perto de x=2^+, o numerador tende a (2-4)(2+2)=-8 (negativo e finito) e o denominador tende a zero com sinal (x-2)>0 e (x-3)<0, logo produto negativo. Assim, negativonegativo pequenoto+infty.

Passo 6

No item (e), simplificamos:
x^2-2xx^2-4x+4=x(x-2)(x-2)^2=xx-2, xneq2

Passo 7

Para xto2^-, o numerador tende a 2 (positivo) e o denominador x-2 tende a zero negativo, gerando -infty.

Resposta

(a) 5/6
(b) 5/6
© +\infty
(d) +\infty
(e) -\infty

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