Calcule a massa de uma lâmina com densidade de, que ocupa a região planar R do primeiro quadrante, delimitada por x^2+y^2=6 e x+y=4, ou seja, R=(x, y) in R^2 / 0 <= y <= 4 e 4-y <= x <= raiz16-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma lâmina cuja densidade é dada por de. A lâmina está na região do primeiro quadrante limitada pelas curvas x^2 + y^2 = 6 e x + y = 4. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integração dupla, que nos ajuda a somar pequenas áreas com suas respectivas densidades para encontrar a massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R onde a lâmina está localizada. Ela está no primeiro quadrante, ou seja, x >= 0 e y >= 0, e limitada por duas curvas:
  1. Círculo: x^2 + y^2 = 6
  2. Linha reta: x + y = 4
Queremos encontrar os limites de integração para x e y. Vamos expressar x em termos de y para facilitar:
  • A linha reta x + y = 4 pode ser rearranjada para x = 4 - y.
  • O círculo x^2 + y^2 = 6 pode ser rearranjado para x = raiz6 - y^2.
Assim, para cada valor de y entre 0 e 4, x varia de 4 - y até raiz6 - y^2.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla que representa a massa da lâmina. A massa M é dada por:
M = integral duplaR de
Substituindo a densidade de:
M = integral duplaR (x + y)^2(x^2 + y^2)^3/2 , dx , dy
Como identificamos os limites de integração no passo anterior, podemos escrever a integral como:
M = integral0^4 integral4 - y^raiz6 - y^2 (x + y)^2(x^2 + y^2)^3/2 , dx , dy

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão da densidade. Observamos que:
(x + y)^2(x^2 + y^2)^3/2 = x^2 + 2xy + y^2(x^2 + y^2)^3/2 = x^2(x^2 + y^2)^3/2 + 2xy(x^2 + y^2)^3/2 + y^2(x^2 + y^2)^3/2
Essa quebra ajuda a simplificar a integral, dividindo-a em partes mais fáceis de integrar.

Passo 5

Vamos focar na primeira parte da densidade:
x^2(x^2 + y^2)^3/2
Essa expressão pode ser simplificada observando que:
x^2(x^2 + y^2)^3/2 = 1(x^2 + y^2)^1/2 cdot x^2(x^2 + y^2)
Isso sugere que podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que a expressão se torna mais simples nessa coordenada.

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas polares, onde:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área dA se transforma em r , dr , dtheta. Também, x^2 + y^2 = r^2.
Substituindo na densidade:
de

Passo 7

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. A região R é limitada por:
  1. Círculo: r = raiz6
  2. Linha reta: x + y = 4 r(cos theta + sin theta) = 4 r = 4cos theta + sin theta
Então, para cada theta, r varia de 0 até min(raiz6, 4cos theta + sin theta).

Passo 8

A integral da massa em coordenadas polares fica:
M = integraltheta1^theta2 integral0^4cos theta + sin theta (cos theta + sin theta)^2r cdot r , dr , dtheta = integraltheta1^theta2 integral0^4cos theta + sin theta (cos theta + sin theta)^2 , dr , dtheta
Aqui, o r no numerador e denominador cancela.

Passo 9

Vamos primeiro integrar em relação a r:
integral0^4cos theta + sin theta (cos theta + sin theta)^2 , dr = (cos theta + sin theta)^2 cdot 4cos theta + sin theta = 4 (cos theta + sin theta)

Passo 10

Agora, a integral se reduz a:
M = integraltheta1^theta2 4 (cos theta + sin theta) , dtheta = 4 integraltheta1^theta2 (cos theta + sin theta) , dtheta
Precisamos determinar os limites theta1 e theta2. Esses são os ângulos onde as duas curvas se interceptam.

Passo 11

Para encontrar os limites de theta, resolvemos o sistema:
x + y = 4 x^2 + y^2 = 6
Substituindo y = 4 - x na segunda equação:
x^2 + (4 - x)^2 = 6 x^2 + 16 - 8x + x^2 = 6 2x^2 - 8x + 16 - 6 = 0 2x^2 - 8x + 10 = 0 x^2 - 4x + 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 4 pm raiz16 - 202 = 4 pm raiz-42
Como não há soluções reais, isso indica que as curvas não se intersectam no primeiro quadrante. Portanto, a região R está apenas limitada pela linha reta até o ponto onde ela toca o círculo.

Passo 12

Assim, os limites de theta vão de 0 até o ângulo onde a linha reta x + y = 4 atinge o círculo x^2 + y^2 = 6.
Em coordenadas polares, isso ocorre quando:
4cos theta + sin theta = raiz6
Resolvendo para theta:
cos theta + sin theta = 4raiz6 raiz2 sin(theta + pi4) = 4raiz6 sin(theta + pi4) = 4raiz12 = 2raiz3
Então,
theta + pi4 = arcsin(2raiz3) theta = arcsin(2raiz3) - pi4
Calculando numericamente,
arcsin(2raiz3) approx 0.9553 rad theta approx 0.9553 - 0.7854 = 0.1699 rad
Então, theta1 = 0 e theta2 approx 0.1699 rad.

Passo 13

Agora, podemos calcular a massa:
M = 4 integral0^0.1699 (cos theta + sin theta) , dtheta = 4 [ sin theta - cos theta ]0^0.1699
Calculando:
M = 4 ( sin(0.1699) - cos(0.1699) - (0 - 1) ) M = 4 ( 0.168 - 0.985 - (-1) ) M = 4 ( 0.168 - 0.985 + 1 ) M = 4 ( 0.183 ) M approx 0.732

Resposta

A massa da lâmina é aproximadamente 0,732 unidades de massa.

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