Calcule a massa de uma lâmina com densidade
, que ocupa a região planar R do primeiro quadrante, delimitada por
e
, ou seja,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma lâmina cuja densidade é dada por
. A lâmina está na região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integração dupla, que nos ajuda a somar pequenas áreas com suas respectivas densidades para encontrar a massa total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde a lâmina está localizada. Ela está no primeiro quadrante, ou seja,
e
, e limitada por duas curvas:
- Círculo:
- Linha reta:
Queremos encontrar os limites de integração para
e
. Vamos expressar
em termos de
para facilitar:
- A linha reta
pode ser rearranjada para . - O círculo
pode ser rearranjado para .
Assim, para cada valor de
entre 0 e 4,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla que representa a massa da lâmina. A massa
é dada por:
Substituindo a densidade
:
Como identificamos os limites de integração no passo anterior, podemos escrever a integral como:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão da densidade. Observamos que:
Essa quebra ajuda a simplificar a integral, dividindo-a em partes mais fáceis de integrar.
Passo 5
Vamos focar na primeira parte da densidade:
Essa expressão pode ser simplificada observando que:
Isso sugere que podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que a expressão se torna mais simples nessa coordenada.
Passo 6
Vamos mudar para coordenadas polares, onde:
E o elemento de área
se transforma em
. Também,
.
Substituindo na densidade:
Passo 7
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. A região
é limitada por:
- Círculo:
- Linha reta:
→ →
Então, para cada
,
varia de 0 até
.
Passo 8
A integral da massa em coordenadas polares fica:
Aqui, o
no numerador e denominador cancela.
Passo 9
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Passo 10
Agora, a integral se reduz a:
Precisamos determinar os limites
e
. Esses são os ângulos onde as duas curvas se interceptam.
Passo 11
Para encontrar os limites de
, resolvemos o sistema:
Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Como não há soluções reais, isso indica que as curvas não se intersectam no primeiro quadrante. Portanto, a região
está apenas limitada pela linha reta até o ponto onde ela toca o círculo.
Passo 12
Assim, os limites de
vão de 0 até o ângulo onde a linha reta
atinge o círculo
.
Em coordenadas polares, isso ocorre quando:
Resolvendo para
:
Então,
Calculando numericamente,
Então,
e
rad.
Passo 13
Agora, podemos calcular a massa:
Calculando:
Resposta
A massa da lâmina é aproximadamente 0,732 unidades de massa.