Ache duas representações em coordenadas polares, uma com r>0 e a outra com r<0, para os pontos com as coordenadas retangulares dadas.
(-1,-1)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas retangulares (-1,-1) em duas representações polares (r,theta): uma com r>0 e outra com r<0. Vamos usar as fórmulas
r=raizx^2+y^2,
theta=arg(x,y) (usando a função atan2(y,x) para ajustar o quadrante).

Passo 2

Calculamos o módulo r substituindo x=-1 e y=-1:
r = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 3

Para o ângulo usamos tantheta = tfracyx = tfrac-1-1=1, o que dá um valor de referência pi/4. Como (x,y)=(-1,-1) está no terceiro quadrante, somamos pi:
theta = pi + pi4 = 5pi4
Assim, uma representação com r>0 é
l(raiz2,,tfrac5pi4r)

Passo 4

Para obter uma representação com r<0 usamos a equivalência
(r,theta)sim(-r,theta+pi)
Partindo de l(raiz2,,tfrac5pi4r), tomamos r'=-raiz2 e
theta' = 5pi4 - pi = pi4
Logo outra representação válida é
l(-raiz2,,tfracpi4r),
que tem r<0.

Resposta

(raiz2,,tfrac5pi4)
(-raiz2,,tfracpi4)

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