Determine a massa do sólido que está fora do cilindro x^2+y^2=1, dentro do cilindro (x-1)^2+y^2= 1, abaixo do parabolóide z=4-x^2-y^2 e acima do plano z=0, sabendo que a densidade do sólido é constante e igual a 3 .

Passo 1

O enunciado pede a massa de um sólido de densidade constante igual a 3, cujo suporte em xy é
— fora do cilindro x^2+y^2=1,
— dentro do cilindro (x-1)^2+y^2=1,
e em z fica entre o plano z=0 e o parabolóide z=4-x^2-y^2.
O conteúdo aqui é cálculo de integrais triplas em coordenadas polares no plano e integração em z.

Passo 2

Como a densidade é constante igual a 3, a massa é
M = 3 integral triplaRegião dV =3integral duplaRl(a<ura em zr),dA =3integral duplaRl(4 - x^2-y^2r),dA, ã
onde R é a projeção no plano xy.

Passo 3

Para caracterizar R em coordenadas polares l(x=rcostheta,;y=rsinthetar):
x^2+y^2>=1 vira r>=1.
(x-1)^2+y^2<=1 vira
(rcostheta -1)^2 + r^2sin^2theta <=1 ;Longrightarrow; r<= 2costheta
Como r>=0, precisamos de 2costheta>=1, ou seja costheta>=tfrac12, logo thetain[-tfracpi3,tfracpi3].
Portanto
R: thetainl[-tfracpi3,tfracpi3r], rin[,1,,2costheta,]

Passo 4

Em polares dA = r,dr,dtheta e x^2+y^2=r^2. Logo
M = 3 integraltheta=-pi/3^pi/3 integralr=1^2costheta l(4 - r^2r),r,dr,dtheta =3integral-pi/3^pi/3integral1^2costheta(4r - r^3),dr,dtheta

Passo 5

Calcule a integral interna em r:
integral(4r - r^3),dr =2r^2 - tfrac14 r^4
Entre r=1 e r=2costheta
l[2r^2 - tfrac14r^4r]1^2costheta =8cos^2theta -4cos^4theta -tfrac74
Assim
M =3integral-pi/3^pi/3l(8cos^2theta -4cos^4theta -tfrac74r),dtheta

Passo 6

A função do integrando é par em theta, então
M =3cdot 2 integral0^pi/3l(8cos^2theta -4cos^4theta -tfrac74r),dtheta =6integral0^pi/3(8cos^2theta),dtheta -6integral0^pi/3(4cos^4theta),dtheta -6integral0^pi/3tfrac74,dtheta

Passo 7

Calcule separadamente
A=integral0^pi/3cos^2theta,dtheta =pi6 + raiz38,
B=integral0^pi/3cos^4theta,dtheta =pi8 + 7raiz364,
C=integral0^pi/3dtheta = pi3
Então
6cdot8A = 48A = 48l(tfracpi6+tfracraiz38r) =8pi +6raiz3,
6cdot4B =24B =24l(tfracpi8+tfrac7raiz364r) =3pi +tfrac21raiz38,
6cdottfrac74,C = tfrac212 ,C =tfrac212cdottfracpi3 =tfrac7pi2

Passo 8

Subtraindo as parcelas:
48A -24B -tfrac212C =l(8pi+6raiz3r) -l(3pi+tfrac21raiz38r) -tfrac7pi2 =pi2 + 9raiz38
Logo
M =3;l(tfracpi2 + tfrac9raiz38r) =3pi2 + 27raiz38 =12pi + 27raiz38

Resposta

M = 3pi2 ;+;27raiz38

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