Determine a massa do sólido que está fora do cilindro
, dentro do cilindro
1, abaixo do parabolóide
e acima do plano
, sabendo que a densidade do sólido é constante e igual a 3 .
Passo 1
O enunciado pede a massa de um sólido de densidade constante igual a 3, cujo suporte em
é
— fora do cilindro ,
— dentro do cilindro ,
e em fica entre o plano
e o parabolóide
.
O conteúdo aqui é cálculo de integrais triplas em coordenadas polares no plano e integração em .
— fora do cilindro
— dentro do cilindro
e em
O conteúdo aqui é cálculo de integrais triplas em coordenadas polares no plano e integração em
Passo 2
Como a densidade é constante igual a 3, a massa é
onde
é a projeção no plano
.
Passo 3
Para caracterizar
em coordenadas polares
:
— vira
.
— vira
—
—
Como
, precisamos de
, ou seja
, logo
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Em polares
e
. Logo
Passo 5
Calcule a integral interna em
:
Entre
e
dá
Assim
Passo 6
A função do integrando é par em
, então
Passo 7
Calcule separadamente
Então
Passo 8
Subtraindo as parcelas:
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