1. Calcule o diferencial total da função f(x, y)=2 x^2+3 x y-y no ponto (1,1).
  2. Dada a função f(x, y)=2 x^2 y-2 x y^2, calcule uma aproximação linear para o acréscimo de f quando (x, y) passa de (1,1) para (1.01,1.02). Calcule o erro da aproximação linear.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (3) o diferencial total de
f(x,y)=2x^2+3xy - y
no ponto (1,1).
  • (4) para
f(x,y)=2x^2y - 2xy^2,
calcular a aproximação linear ao acréscimo de f quando (x,y) vai de (1,1) para (1,01,1,02) e o erro dessa aproximação.
O conteúdo principal é o uso de derivadas parciais para obter o diferencial e a linearização (aproximação de primeiro grau) de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para calcular o diferencial total usamos que
df = fx,dx + fy,dy,
onde fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 3

Derivando
f(x,y)=2x^2+3xy - y
temos
fx(x,y) = 4x + 3y,
fy(x,y) = 3x - 1
No ponto (1,1) isso dá
fx(1,1) = 4cdot1 + 3cdot1 = 7,
fy(1,1) = 3cdot1 - 1 = 2
Logo o diferencial total em (1,1) é
dfl|(1,1) = 7,dx + 2,dy

Passo 4

Agora trate a função
f(x,y)=2x^2y - 2xy^2
Suas parciais são
fx(x,y) = 4xy - 2y^2,
fy(x,y) = 2x^2 - 4xy
No ponto (1,1) obtemos
fx(1,1) = 4cdot1cdot1 - 2cdot1^2 = 2,
fy(1,1) = 2cdot1^2 - 4cdot1cdot1 = -2

Passo 5

A aproximação linear ao acréscimo De<a f quando (x,y) sofre incrementos dx e dy é
De<a f approx L = fx(1,1),dx + fy(1,1),dy
Aqui dx = 1,01 - 1 = 0,01 e dy = 1,02 - 1 = 0,02. Logo
L = 2cdot0,01 + (-2)cdot0,02 = 0,02 - 0,04 = -0,02

Passo 6

Para achar o erro, calcule o valor exato de De<a f:
f(1,1)=2cdot1^2cdot1 - 2cdot1cdot1^2=0,
f(1,01,1,02)=2,(1,01)^2,(1,02) - 2,(1,01),(1,02)^2approx -0,020604
Assim
De<a fexato = f(1,01,1,02) - f(1,1)approx -0,020604

Passo 7

O erro da aproximação linear é
erro = De<a fexato - L approx -0,020604 - (-0,02) = -0,000604

Resposta

  1. O diferencial total de f(x,y)=2x^2+3xy - y em (1,1) é
dfl|(1,1) = 7,dx + 2,dy
  1. Para f(x,y)=2x^2y - 2xy^2, a aproximação linear ao acréscimo de f de (1,1) para (1,01,1,02) é
De<a f approx -0,02,
e o erro dessa aproximação é aproximadamente
-0,000604

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