Dada a função , calcule uma aproximação linear para o acréscimo de f quando passa de para . Calcule o erro da aproximação linear.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(3) o diferencial total de
no ponto .
(4) para
calcular a aproximação linear ao acréscimo de quando vai de para e o erro dessa aproximação.
O conteúdo principal é o uso de derivadas parciais para obter o diferencial e a linearização (aproximação de primeiro grau) de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para calcular o diferencial total usamos que
onde e são as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Derivando
temos
No ponto isso dá
Logo o diferencial total em é
Passo 4
Agora trate a função
f(x,y)=2x^2y - 2xy^2
Suas parciais são
fx(x,y) = 4xy - 2y^2,
fy(x,y) = 2x^2 - 4xy
No ponto (1,1) obtemos
fx(1,1) = 4cdot1cdot1 - 2cdot1^2 = 2,
fy(1,1) = 2cdot1^2 - 4cdot1cdot1 = -2
Passo 5
A aproximação linear ao acréscimo De<a f quando (x,y) sofre incrementos dx e dy é
De<a f approx L = fx(1,1),dx + fy(1,1),dy
Aqui dx = 1,01 - 1 = 0,01 e dy = 1,02 - 1 = 0,02. Logo