Resolva os Problemas de Valor Inicial (PVI):
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e as condições iniciais. Especificamente:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Ideia do método (passo a passo, bem didático): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes como esta, uma técnica padrão é tentar uma solução do tipo exponencial
onde
é um número (possivelmente complexo) a ser determinado. Por quê? Porque derivadas de
são múltiplos de
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). Vamos aplicar isso.
Passo 3
Substituindo
na equação:
-
, -
.
Colocando na equação
obtemos
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e ficar com a equação algébrica (característica):
Passo 4
Resolver a equação característica:
Portanto as raízes são
São duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Para duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias. Substituindo
e
obtemos
Observação didática:
, por isso aparece uma constante simples
.
Passo 6
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro calcule a derivada
. Derivando
:
Aplicando
:
Aplicando
:
Dividindo ambos os lados por
(observando
) dá
Com
, volta em
e obtemos
Passo 7
Assim a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Vamos checar rapidamente (verificação curta):
-
(ok). -
, então (ok). - Substituindo na equação:
, logo (ok).
Força aí — você já consegue fazer este tipo de PVI com expoentes!