Resolva os Problemas de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}+\pi y^{\prime}=0 ; y(0)=3: y^{\prime}(0)=-\pi.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e as condições iniciais. Especificamente:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime} + \pi\,y^{\prime} = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=3,\qquad y^{\prime}(0)=-\pi.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Ideia do método (passo a passo, bem didático): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes como esta, uma técnica padrão é tentar uma solução do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a ser determinado. Por quê? Porque derivadas de e^{r x} são múltiplos de e^{r x}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vamos aplicar isso.

Passo 3

Substituindo y(x)=e^{r x} na equação:
  • \,y^{\prime}(x)=r e^{r x},
  • \,y^{\prime\prime}(x)=r^{2} e^{r x}.
Colocando na equação y^{\prime\prime} + \pi\,y^{\prime}=0 obtemos
r^{2} e^{r x} + \pi\, r e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação algébrica (característica):
r^{2} + \pi r = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^{2} + \pi r = r(r+\pi)=0.
Portanto as raízes são r_{1}=0\quad\text{e}\quad r_{2}=-\pi.
São duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Para duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear
y(x)=C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Substituindo r_{1}=0 e r_{2}=-\pi obtemos
y(x)=C_{1} e^{0\cdot x} + C_{2} e^{-\pi x}=C_{1} + C_{2} e^{-\pi x}.
Observação didática: e^{0\cdot x}=1, por isso aparece uma constante simples C_{1}.

Passo 6

Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro calcule a derivada y^{\prime}(x). Derivando y(x)=C_{1} + C_{2} e^{-\pi x}:
y^{\prime}(x)=0 + C_{2}\cdot(-\pi) e^{-\pi x} = -\pi C_{2} e^{-\pi x}.
Aplicando y(0)=3:
y(0)=C_{1} + C_{2} e^{0}=C_{1}+C_{2}=3.
Aplicando y^{\prime}(0)=-\pi:
y^{\prime}(0) = -\pi C_{2} e^{0} = -\pi C_{2} = -\pi.
Dividindo ambos os lados por -\pi (observando -\pi\neq0) dá
C_{2}=1.
Com C_{2}=1, volta em C_{1}+C_{2}=3 e obtemos
C_{1}=3-1=2.

Passo 7

Assim a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=2 + e^{-\pi x}.
Vamos checar rapidamente (verificação curta):
  • y(0)=2+e^{0}=2+1=3 (ok).
  • y^{\prime}(x)=-\pi e^{-\pi x}, então y^{\prime}(0)=-\pi (ok).
  • Substituindo na equação: y^{\prime\prime}=\pi^{2} e^{-\pi x}, logo y^{\prime\prime}+\pi y^{\prime}=\pi^{2} e^{-\pi x} + \pi(-\pi e^{-\pi x})=0 (ok).
Força aí — você já consegue fazer este tipo de PVI com expoentes!

Resposta

y(x)=2+e^{-\pi x}

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