Ache os elementos invertíveis de Z6, Z7, Z8 e Z9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar os elementos invertíveis em Z6, Z7, Z8 e Z9. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Teoria dos Números, especificamente sobre elementos invertíveis em anéis de inteiros módulo n. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento ser invertível nesse contexto, ou seja, ter um inverso multiplicativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um elemento a em Zn é invertível se existe outro elemento b em Zn tal que a cdot b equiv 1 pmodn. Isso significa que o produto de a e b deixa resto 1 quando dividido por n.

Passo 3

Para descobrir quais elementos são invertíveis em cada Zn, precisamos verificar, para cada número a de 0 a n-1, se ele é coprimo com n. Dois números são coprimos se o máximo divisor comum (MDC) entre eles é 1, ou seja, gcd(a, n) = 1.

Passo 4

Vamos começar com Z6. Os elementos são 0, 1, 2, 3, 4, 5.
  • gcd(0, 6) = 6 → Não é invertível.
  • gcd(1, 6) = 1 → Invertível.
  • gcd(2, 6) = 2 → Não é invertível.
  • gcd(3, 6) = 3 → Não é invertível.
  • gcd(4, 6) = 2 → Não é invertível.
  • gcd(5, 6) = 1 → Invertível.
Então, os elementos invertíveis em Z6 são 1, 5.

Passo 5

Agora, em Z7. Os elementos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • gcd(0, 7) = 7 → Não é invertível.
  • gcd(1, 7) = 1 → Invertível.
  • gcd(2, 7) = 1 → Invertível.
  • gcd(3, 7) = 1 → Invertível.
  • gcd(4, 7) = 1 → Invertível.
  • gcd(5, 7) = 1 → Invertível.
  • gcd(6, 7) = 1 → Invertível.
Como 7 é primo, todos os números de 1 a 6 são coprimos com 7. Portanto, os elementos invertíveis em Z7 são 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Passo 6

Vamos para Z8. Os elementos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
  • gcd(0, 8) = 8 → Não é invertível.
  • gcd(1, 8) = 1 → Invertível.
  • gcd(2, 8) = 2 → Não é invertível.
  • gcd(3, 8) = 1 → Invertível.
  • gcd(4, 8) = 4 → Não é invertível.
  • gcd(5, 8) = 1 → Invertível.
  • gcd(6, 8) = 2 → Não é invertível.
  • gcd(7, 8) = 1 → Invertível.
Então, os elementos invertíveis em Z8 são 1, 3, 5, 7.

Passo 7

Por fim, Z9. Os elementos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
  • gcd(0, 9) = 9 → Não é invertível.
  • gcd(1, 9) = 1 → Invertível.
  • gcd(2, 9) = 1 → Invertível.
  • gcd(3, 9) = 3 → Não é invertível.
  • gcd(4, 9) = 1 → Invertível.
  • gcd(5, 9) = 1 → Invertível.
  • gcd(6, 9) = 3 → Não é invertível.
  • gcd(7, 9) = 1 → Invertível.
  • gcd(8, 9) = 1 → Invertível.
Portanto, os elementos invertíveis em Z9 são 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Resposta

Os elementos invertíveis são:
  • Z6: 1, 5
  • Z7: 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • Z8: 1, 3, 5, 7
  • Z9: 1, 2, 4, 5, 7, 8

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