Ache os elementos invertíveis de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar os elementos invertíveis em
,
,
e
. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Teoria dos Números, especificamente sobre elementos invertíveis em anéis de inteiros módulo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento ser invertível nesse contexto, ou seja, ter um inverso multiplicativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um elemento
em
é invertível se existe outro elemento
em
tal que
. Isso significa que o produto de
e
deixa resto 1 quando dividido por
.
Passo 3
Para descobrir quais elementos são invertíveis em cada
, precisamos verificar, para cada número
de
a
, se ele é coprimo com
. Dois números são coprimos se o máximo divisor comum (MDC) entre eles é 1, ou seja,
.
Passo 4
Vamos começar com
. Os elementos são
.
-
→ Não é invertível. -
→ Invertível. -
→ Não é invertível. -
→ Não é invertível. -
→ Não é invertível. -
→ Invertível.
Então, os elementos invertíveis em
são
.
Passo 5
Agora, em
. Os elementos são
.
-
→ Não é invertível. -
→ Invertível. -
→ Invertível. -
→ Invertível. -
→ Invertível. -
→ Invertível. -
→ Invertível.
Como 7 é primo, todos os números de 1 a 6 são coprimos com 7. Portanto, os elementos invertíveis em
são
.
Passo 6
Vamos para
. Os elementos são
.
-
→ Não é invertível. -
→ Invertível. -
→ Não é invertível. -
→ Invertível. -
→ Não é invertível. -
→ Invertível. -
→ Não é invertível. -
→ Invertível.
Então, os elementos invertíveis em
são
.
Passo 7
Por fim,
. Os elementos são
.
-
→ Não é invertível. -
→ Invertível. -
→ Invertível. -
→ Não é invertível. -
→ Invertível. -
→ Invertível. -
→ Não é invertível. -
→ Invertível. -
→ Invertível.
Portanto, os elementos invertíveis em
são
.
Resposta
Os elementos invertíveis são:
-
: -
: -
: -
: