Ache os inversos de 3, 4 e 5 em Z7

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar os inversos de 3, 4 e 5 em Z7. Isso significa que estamos trabalhando com aritmética modular, mais especificamente módulo 7. Para encontrar o inverso de um número nessa configuração, precisamos encontrar outro número que, quando multiplicado pelo original, resulte em 1 dentro desse módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o inverso de 3 em Z7. Procuramos um número x tal que:
3 times x equiv 1 pmod7
Isso significa que 3x dividido por 7 deixa resto 1. Vamos testar valores de x de 1 a 6:
  • 3 times 1 = 3 equiv 3 pmod7
  • 3 times 2 = 6 equiv 6 pmod7
  • 3 times 3 = 9 equiv 2 pmod7
  • 3 times 4 = 12 equiv 5 pmod7
  • 3 times 5 = 15 equiv 1 pmod7
Encontramos que x = 5 satisfaz a condição.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o inverso de 4 em Z7. Procuramos um número y tal que:
4 times y equiv 1 pmod7
Testando valores de y de 1 a 6:
  • 4 times 1 = 4 equiv 4 pmod7
  • 4 times 2 = 8 equiv 1 pmod7
Encontramos que y = 2 satisfaz a condição.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o inverso de 5 em Z7. Procuramos um número z tal que:
5 times z equiv 1 pmod7
Testando valores de z de 1 a 6:
  • 5 times 1 = 5 equiv 5 pmod7
  • 5 times 2 = 10 equiv 3 pmod7
  • 5 times 3 = 15 equiv 1 pmod7
Encontramos que z = 3 satisfaz a condição.

Resposta

Os inversos em Z7 são:
  • O inverso de 3 é 5.
  • O inverso de 4 é 2.
  • O inverso de 5 é 3.

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