ache os elementos principais das parábolas abaixo:
x^2=3 y+1.

Passo 1

O enunciado dá a parábola
x^2 = 3,y + 1
e pede os elementos principais: vértice, foco, diretriz e eixo. Para isso vamos usar a forma canônica
(x - h)^2 = 4,p,(y - k),
onde (h,k) é o vértice e p define a posição do foco e da diretriz.

Passo 2

Reescrevendo a equação em função de y:
y = 13x^2 - 13
Colocando em forma canônica, isolamos y + tfrac13:
x^2 = 3l(y + tfrac13r)
Comparando com (x - h)^2 = 4,p,(y - k), vemos que h=0, k=-tfrac13 e
4,p = 3 Longrightarrow p = 34

Passo 3

O vértice é
(h,k) = l(0,,-tfrac13r)
O foco está a uma distância p acima do vértice (parábola voltada para cima), então
foco = l(0,,-tfrac13 + tfrac34r) = l(0,;tfrac512r)

Passo 4

A diretriz é a reta horizontal dada por
y - k = -p Longrightarrow y + tfrac13 = -tfrac34 Longrightarrow y = -tfrac1312

Passo 5

O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja,
x = h Longrightarrow x = 0

Resposta

vértice: l(0,-tfrac13r)
foco: l(0,tfrac512r)
diretriz: y = -tfrac1312
eixo: x = 0

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